[論文レビュー] Classes of Intersection Digraphs with Good Algorithmic Properties

Lars Jaffke, O‐joung Kwon+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 40被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、mim幅の有向版としてのbi-mim-widthを導入し、反射的交差有向グラフ（例：反射的H-有向グラフ）のクラスが有界なbi-mim-widthを持つことを示した。これにより、枝分解が与えられた場合に、支配集合やカーネル問題といった局所的にチェック可能な問題に対して多項式時間アルゴリズムが可能となる。主な貢献は、有界なbi-mim-widthを持つ有向グラフにおいて、これらの問題を効率的に解くための統一的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

An intersection digraph is a digraph where every vertex $v$ is represented by an ordered pair $(S_v, T_v)$ of sets such that there is an edge from $v$ to $w$ if and only if $S_v$ and $T_w$ intersect. An intersection digraph is reflexive if $S_v\cap T_v eq \emptyset$ for every vertex $v$. Compared to well-known undirected intersection graphs like interval graphs and permutation graphs, not many algorithmic applications on intersection digraphs have been developed. Motivated by the successful story on algorithmic applications of intersection graphs using a graph width parameter called mim-width, we introduce its directed analogue called `bi-mim-width' and prove that various classes of reflexive intersection digraphs have bounded bi-mim-width. In particular, we show that as a natural extension of $H$-graphs, reflexive $H$-digraphs have linear bi-mim-width at most $12|E(H)|$, which extends a bound on the linear mim-width of $H$-graphs [On the Tractability of Optimization Problems on $H$-Graphs. Algorithmica 2020]. For applications, we introduce a novel framework of directed versions of locally checkable problems, that streamlines the definitions and the study of many problems in the literature and facilitates their common algorithmic treatment. We obtain unified polynomial-time algorithms for these problems on digraphs of bounded bi-mim-width, when a branch decomposition is given. Locally checkable problems include Kernel, Dominating Set, and Directed $H$-Homomorphism.

研究の動機と目的

• 交差有向グラフにおけるアルゴリズム的応用を目的としたmim幅の有向版を定義すること。
• 反射的交差有向グラフクラス（例：反射的H-有向グラフを含む）が有界なbi-mim-widthを持つことを示すこと。
• 有界なbi-mim-widthを持つ有向グラフにおいて、局所的にチェック可能な頂点部分集合および分割問題を体系的かつ多項式時間で解くための統一的枠組みを確立すること。
• 枝分解が与えられた場合に、Dominating Set、Kernel、Directed H-Homomorphismなどの問題に対して多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• 有界なbi-mim-widthを持つクラスにおける反射的交差有向グラフの表現計算およびr乗bi-mim-widthの境界に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• AからBおよびBからAへの有向カット成分における最大誘導マッチングに基づくbi-mim-widthを、枝幅測度として定義する。
• 頂点集合内での出隣接集合および入隣接集合に制約を課す有向局所チェック可能な問題（LCVSおよびLCVP）を導入する。
• bi-mim-widthをパrameterとする問題が、dが問題の複雑さ、wがbi-mim-widthであるとき、時間O(n^{3drw+2})で解けることを証明する。
• 有向グラフのr乗を用いて、距離rの問題を標準問題に還元し、bi-mim-widthがr乗において安定であることを活用する。
• 反射的H-有向グラフが、12|E(H)|未満の線形bi-mim-widthを持つことを示し、無向Hグラフの既知の境界を拡張する。
• mim幅に対する既存のXPアルゴリズムを有向設定に適応し、新しいbi-mim-widthパrameterに適合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差有向グラフの効率的アルゴリズム的取り扱いを可能にする、mim幅の有向版を定義できるか？
• RQ2 反射的交差有向グラフクラス（例：反射的H-有向グラフ、調整済み区間有向グラフ）は有界なbi-mim-widthを持つのか？
• RQ3 有界なbi-mim-widthを持つ有向グラフにおいて、局所的にチェック可能な問題を体系的かつ多項式時間で解くことができるか？
• RQ4 bi-mim-widthと有向グラフのr乗との関係、特に幅の保存性に関しては？
• RQ5 有界なbi-mim-widthを持つクラスにおいて、反射的交差有向グラフの表現を多項式時間で計算できるか？

主な発見

• 反射的H-有向グラフは、12|E(H)|未満の線形bi-mim-widthを持つ。これは、無向Hグラフにおける既知のmim幅境界を一般化する。
• 有向LCVSおよびLCVP問題（例：Dominating Set、Kernel）は、bi-mim-width wで枝分解が与えられた有向グラフにおいて、時間O(n^{3drw+2})で解ける。
• bi-mim-width wの有向グラフのr乗は、bi-mim-widthが最大rwに抑えられ、距離rの変種問題を効率的に解くことが可能になる。
• 有界なbi-mim-widthを持つ反射的交差有向グラフにおいて、局所的にチェック可能な問題を解くための統一的アルゴリズム枠組みが確立された。
• 本稿では、r独立なbi-mim-width境界の存在や、有界なbi-mim-widthを持つクラスにおける反射的交差有向グラフの多項式時間表現計算といった未解決問題を特定した。