[論文レビュー] Classes of some hypersurfaces in the Grothendieck ring of varieties

Emel Bilgin|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特定の超曲面におけるk-有理点の存在と、Lefschetz類を法とするグロテンディーク環 K₀(Varₖ) におけるその類の関係を調査する。幾何学的およびコホロロジー的手法を用いて、超平面の和、二次曲面、有理的特異点をもつ三次超曲面、および二つの二次曲面の和（一方が滑らか）である超曲面といった特定のクラスの超曲面について、[X] ≡ 1 mod L であることは、X がk-有理点をもつことと同値であることを証明する。

ABSTRACT

Let X be a projective hypersurface in P_k^n of degree d <= n. In this paper we study the relation between the class [X] in K_0(Var_k) and the existence of k-rational points. Using elementary geometric methods we show, for some particular X, that X(k) is nonempty if and only if [X] is equivalent to 1 modulo the class of the affine line in K_0(Var_k). More precisely we consider the following cases: a union of hyperplanes, a quadric, a cubic hypersurface with a singular k-rational point, and a quartic which is a union of two quadrics one of which being smooth.

研究の動機と目的

• 超曲面 X に k-有理点が存在するかどうかが、グロテンディーク環 K₀(Varₖ) において [X] ≡ 1 mod L であることと同値であるかどうかを特定すること。
• 超曲面の算術的性質とグロテンディーク環の構造との関連を深めるために、その理解を拡張すること。
• この同値性が成り立つ可能性のある特定の超曲面のクラス（例えば、超平面の和、二次曲面、特異点をもつ有理的三次曲面、二次曲面の和としての四次超曲面）を分析すること。
• K₀(Varₖ) における一般の予想、すなわち有理点が L を法とする自明性に対応することを、幾何学的およびモチーフ的証拠で裏付けること。

提案手法

• スシッター関係および積構造に基づくグロテンディーク環 K₀(Varₖ) を用い、体 k 上の代数的多様体 X の類 [X] を定義する。
• スシッター関係を適用：X の閉部分多様体 Y ⊂ X に対して [X] = [X∖Y] + [Y] が成り立ち、積則 [X]·[Z] = [X ×ₖ Z] を用いる。
• Zariski局所自明なファイブレーションを用いて、X → Y がファイバー F をもつ場合、[X] = [F]·[Y] が K₀(Varₖ) で成り立つことを導出する。
• 特に {x₀ = 0} および {x₀ ≠ 0} の局所に注目して、超曲面の類をアフィンおよび射影的チャートへの分解によって分析する。
• Lefschetzの原理とモチーフ的不変性を用い、特に n ≥ 1 に対して [ℙⁿ] ≡ 1 mod L を用いて、L を法とする質問を簡略化する。
• 滑らかな有理的多様体は [Y] ≡ 1 mod L を満たすという事実を用い、証明において三次曲面および関連する部分多様体に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面 X に k-有理点が存在するならば、K₀(Varₖ) において [X] ≡ 1 mod L であるか？
• RQ2 どのクラスの超曲面（例えば、二次曲面、三次曲面、四次曲面）について、[X] ≡ 1 mod L であることと X(k) ≠ ∅ が同値となるか？
• RQ3 グロテンディーク環における幾何的分解およびファイブレーション技法を用いて、有理点を検出できるか？
• RQ4 特異点や可約性の存在が、L を法とするモチーフ的類にどのように影響するか？
• RQ5 モチーフ的類 [X] を L を法としてとったものがあまりにどの程度、有理点の存在といった算術的性質を反映しているか？

主な発見

• k 上の d ≤ n 個の超平面の和について、[X] ≡ 1 mod L であることと、X が k-有理点をもつことは同値である。
• k 上の二次曲面超曲面について、[X] ≡ 1 mod L であることと、X(k) ≠ ∅ は同値である。
• k-有理的特異点をもつ三次曲面超曲面で、次数 d ≤ n の場合、[X] ≡ 1 mod L であることと、X(k) ≠ ∅ は同値である。
• 二つの二次曲面の和（一方が滑らか）である四次曲面超曲面について、[X] ≡ 1 mod L であることと、X(k) ≠ ∅ は同値である。
• 上記すべてのケースにおいて、[X] を L を法としてとったモチーフ的類は、有理点の存在を検出でき、鍵となるステップは四次の場合における関連する三次曲面の有理化にある。
• 証明は、[Q₁ ∩ Q₂] ≡ [Y] mod L であり、n ≥ 4 のとき [Y] ≡ 1 mod L であることを示すことに依拠しており、これにより [X] ≡ 1 mod L が得られる。