[論文レビュー] Classical and Quantum Complexity of the Sturm-Liouville Eigenvalue Problem

Anargyros Papageorgiou, H. Woźniakowski|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、非負で2回連続微分可能関数を係数とする1変数のSturm-Liouville問題の最小固有値の近似における古典的および量子的複雑度を分析している。古典的決定的および確率的設定では、それぞれΘ(ε⁻¹/²)およびΘ(ε⁻²/⁵)回の関数評価を要するが、量子アルゴリズムではパワークエリを用いることで指数的高速化が達成され、Θ(log ε⁻¹)回のクエリとO(log² ε⁻¹)回の量子操作で、最小限のキュービット数で効率的な固有値近似が可能となる。

ABSTRACT

We study the approximation of the smallest eigenvalue of a Sturm-Liouville problem in the classical and quantum settings. We consider a univariate Sturm-Liouville eigenvalue problem with a nonnegative function $q$ from the class $C^2([0,1])$ and study the minimal number $n(\e)$ of function evaluations or queries that are necessary to compute an $\e$-approximation of the smallest eigenvalue. We prove that $n(\e)=Θ(\e^{-1/2})$ in the (deterministic) worst case setting, and $n(\e)=Θ(\e^{-2/5})$ in the randomized setting. The quantum setting offers a polynomial speedup with {\it bit} queries and an exponential speedup with {\it power} queries. Bit queries are similar to the oracle calls used in Grover's algorithm appropriately extended to real valued functions. Power queries are used for a number of problems including phase estimation. They are obtained by considering the propagator of the discretized system at a number of different time moments. They allow us to use powers of the unitary matrix $\exp( frac12 { m i}M)$, where $M$ is an $n imes n$ matrix obtained from the standard discretization of the Sturm-Liouville differential operator. The quantum implementation of power queries by a number of elementary quantum gates that is polylog in $n$ is an open issue.

研究の動機と目的

• Sturm-Liouville問題の最小固有値を近似するための古典的および量子的クエリ複雑度を特定すること。
• 決定的、確率的、量子アルゴリズムの性能を関数評価数および量子クエリ数の観点から分析すること。
• パワークエリと位相推定を用いた量子アルゴリズムのクエリ複雑度およびキュービット要件のタイトな境界を確立すること。
• Sturm-Liouville固有値問題と重み付き積分問題との関係を導出し、関連する問題に対して多対数的複雑度を実現すること。

提案手法

• Dirichlet境界条件を伴う微分作用素の最小固有値を求めるSturm-Liouville固有値問題を定式化する。
• 微分作用素をn×n行列M_qに離散化し、ユニタリ時間発展演算子exp(½iM_q)による量子シミュレーションを可能にする。
• 位相推定アルゴリズムをパワークエリを用いて適用し、高い確率で最小固有値を推定する。
• 近似関数評価におけるGrover型オракル呼び出しに類似したビットクエリを量子アルゴリズムに適用する。
• JakschとPapageorgiouのアルゴリズムを用いて、位相推定のための初期近似固有状態を準備する。
• 固有値問題と重み付き積分問題との間の関係を導出し、広範な問題クラスに対して多対数的複雑度を実現可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sturm-Liouville問題の最小固有値を近似する古典的最悪ケース複雑度はいかほどか？
• RQ2 確率的古典的複雑度は最悪ケース設定と比較してどのように異なるか？
• RQ3 この問題に対してビットクエリおよびパワークエリを用いた量子クエリ複雑度はどの程度達成可能か？
• RQ4 パワークエリは、この非線形連続問題において古典的手法よりも指数的高速化を実現できるか？
• RQ5 量子設定でε-精度を達成するために必要な最小キュービット数はいくつか？

主な発見

• 古典的決定的最悪ケース複雑度はΘ(ε⁻¹/²)回の関数評価である。
• 古典的確率的複雑度はΘ(ε⁻²/⁵)であり、最悪ケース設定に比べて多項式的高速化が達成される。
• ビットクエリを用いた量子アルゴリズムは多項式的高速化を達成し、確率3/4でε-精度を満たすためにΘ(ε⁻¹/³)回のクエリを要する。
• パワークエリと位相推定を用いることで、Θ(log ε⁻¹)回のクエリ、O(log² ε⁻¹)回の量子操作、および3/2 log ε⁻¹キュービットで問題を解ける。
• キュービット複雑度はおおよそ½ log ε⁻¹で下界が与えられ、キュービット使用量の根本的限界が確立される。
• この問題は重み付き積分問題に還元可能であり、広範な計算問題クラスに対して多対数的複雑度が実現可能である。