[論文レビュー] Quantum Lower Bounds by Polynomials

Robert Beals, Harry Buhrman+3 more|ArXiv.org|Feb 18, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 179

ひとこと要約

この論文は、全真理値関数に対して、量子アルゴリズムが古典的アルゴリズムよりも指数的高速化を達成できないことを確立し、Tクエリを使用する任意の量子アルゴリズムについて、古典的クエリの多項式上界O(T⁶)を証明している。対称関数の量子クエリ複雑度をタイトに特徴付け、多項式法の量子拡張を用いて、正確、ゼロエラー、有界誤差モデルにおけるAND、OR、PARITYの正確な境界を導出している。

ABSTRACT

We examine the number T of queries that a quantum network requires to compute several Boolean functions on {0,1}^N in the black-box model. We show that, in the black-box model, the exponential quantum speed-up obtained for partial functions (i.e. problems involving a promise on the input) by Deutsch and Jozsa and by Simon cannot be obtained for any total function: if a quantum algorithm computes some total Boolean function f with bounded-error using T black-box queries then there is a classical deterministic algorithm that computes f exactly with O(T^6) queries. We also give asymptotically tight characterizations of T for all symmetric f in the exact, zero-error, and bounded-error settings. Finally, we give new precise bounds for AND, OR, and PARITY. Our results are a quantum extension of the so-called polynomial method, which has been successfully applied in classical complexity theory, and also a quantum extension of results by Nisan about a polynomial relationship between randomized and deterministic decision tree complexity.

研究の動機と目的

• ブラックボックスモデルにおける全真理値関数の量子高速化の限界を特定すること。
• 正確、ゼロエラー、有界誤差設定における対称関数の量子クエリ複雑度を特徴付けること。
• AND、OR、PARITYなどの基本的関数について、さまざまな誤差モデル下でのタイトな境界を確立すること。
• 古典的多項式法を量子クエリ複雑度に拡張し、新たな下界技術を可能にすること。

提案手法

• Tクエリの量子アルゴリズムを、次数が2T以下の多変数多項式に写像する量子多項式法の拡張を用いる。
• 対称関数の解析を単変数多項式に還元するための対称化技術を適用する。
• 近似多項式の次数の上限を活用して、クエリ複雑度の下界を導出する。
• 多項式法を用いて、有界誤差量子クエリ複雑度が決定的クエリ複雑度と多項式的に関係することを証明する。
• Nisanによる確率的と決定的意思決定木の関係の結果を応用し、古典的・量子複雑度の関係を強化する。
• ブロック感度と多項式次数の議論を用いて、特定の関数における量子アルゴリズムの最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックボックスモデルにおいて、量子アルゴリズムは全真理値関数に対して指数的高速化を達成できるか？
• RQ2 AND、OR、PARITYのような対称関数の正確な量子クエリ複雑度は何か？
• RQ3 全関数について、量子クエリ複雑度は古典的決定的および確率的クエリ複雑度とどのように関係するか？
• RQ4 多項式法を拡張して、量子クエリ複雑度のタイトな下界を導出できるか？
• RQ5 MAJORITYや他の対称関数の正確、ゼロエラー、有界誤差計算に必要な最小クエリ数は何か？

主な発見

• いかなる全真理値関数に対しても指数的量子高速化は不可能である：有界誤差でTクエリで計算できる量子アルゴリズムがあれば、古典的決定的アルゴリズムはO(T⁶)クエリで正確に計算可能である。
• 対称関数に関しては、正確、ゼロエラー、有界誤差モデルにおける量子クエリ複雑度が、それらの多項式の次数に基づいてタイトに特徴付けられる。
• ORの正確およびゼロエラー量子クエリ複雑度はNであり、有界誤差複雑度はΘ(√N)である。これは2乗の高速化を示している。
• PARITYの正確およびゼロエラー量子クエリ複雑度はN/2であり、有界誤差複雑度もN/2である。その近似多項式の次数はNである。
• MAJORITYの有界誤差量子クエリ複雑度はΘ(N)であり、上界はN/2 + √Nである。正確複雑度は少なくとも(N+1)/2である。
• 多項式法により、XORおよびその否定以外の二項結合子では、量子アルゴリズムが古典的アルゴリズムよりクエリの利点をもたないことが証明された。