[論文レビュー] Classical Field theory on Lie algebroids: multisymplectic formalism

Eduardo Martı́nez|ArXiv.org|Nov 16, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、多シンプレクティック形式を用いて、古典的場の理論をリー代数準束へ拡張する。これは、ジャンプバンドルやラグランジュ・ハミルトニアン構造をリー代数準束上の場の理論へ一般化する。主な貢献は、標準的多シンプレクティック形式を用いた統一的・幾何学的場の運動方程式の定式化であり、これは、Euler-Poincaré や Lagrange-Poincaré 方程式といった既知のケースを特別な例として回復し、対称系に対する一貫性のある還元理論を可能にする。

ABSTRACT

The jet formalism for Classical Field theories is extended to the setting of Lie algebroids. We define the analog of the concept of jet of a section of a bundle and we study some of the geometric structures of the jet manifold. When a Lagrangian function is given, we find the equations of motion in terms of a Cartan form canonically associated to the Lagrangian. The Hamiltonian formalism is also extended to this setting and we find the relation between the solutions of both formalism. When the first Lie algebroid is a tangent bundle we give a variational description of the equations of motion. In addition to the standard case, our formalism includes as particular examples the case of systems with symmetry (covariant Euler-Poincare and Lagrange Poincare cases), variational problems for holomorphic maps, Sigma models or Chern-Simons theories. One of the advantages of our theory is that it is based in the existence of a multisymplectic form on a Lie algebroid.

研究の動機と目的

• 古典的場の理論の多シンプレクティック形式を、リー代数準束の設定へ一般化すること。
• 標準的場理論におけるジャンプバンドルに類似した、リー代数準束準同型の切断のための幾何学的ジャンプ形式を定義すること。
• ジャンプ空間上の標準的カルタン形式と多シンプレクティック構造を用いて、場の運動方程式を導出すること。
• リー代数準束上でのハイパーレギュラーなラグランジュ関数に対して、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の同等性を確立すること。
• ベースとなるリー代数準束が接バンドルである場合に、変分的定式化を提供し、場の運動方程式が内在的に導かれるようにすること。

提案手法

• リー代数準同型 $\pi: E \to F$ のジャンプ空間 $\mathcal{J}\pi$ を導入し、アフィンバンドル構造とその上に自然に誘導される幾何的対象を備えること。
• 標準的多シンプレクティック形式 $\Omega$ を $\mathcal{J}\pi$ のアフィン双対に定義し、標準的場理論における多シンプレクティック構造を一般化すること。
• 各切断 $\Psi$ に対して、場の運動方程式を $\Psi^* i_X \Omega = 0$ として導出する。ここで $\Omega$ は多シンプレクティック形式であり、$i_X$ は垂直ベクトル場による縮約を表す。
• 与えられたラグランジュ関数 $L$ からジャンプ空間 $\mathcal{J}\pi$ 上にカルタン形式 $\Theta_L$ を構成し、$d\Theta_L = 0$ の条件によりEuler-Lagrange方程式を導出すること。
• 双対ジャンプ空間上にハミルトニアン形式を構築し、ハイパーレギュラー性のもとでラグランジュ形式と同等であることを示すこと。
• ラグランジュ的およびハミルトニアン的構造を、リー代数準束の枠組み内で統合する形式を提供すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的場理論における多シンプレクティック形式は、ファイバー束のジャンプバンドルや接バンドルではなく、リー代数準束上に定義された場の理論へどのように一般化できるか。
• RQ2 リー代数準同型のジャンプ空間に適した幾何的構造は何か。また、その構造は変分的および多シンプレクティック的定式化をどのように支援するか。
• RQ3 対称的場理論（例：Euler-Poincaré、Lagrange-Poincaré）のEuler-Lagrange方程式は、リー代数準束上での単一の統一的多シンプレクティック形式の特別な例として導出可能か。
• RQ4 ハイパーレギュラーなラグランジュ関数に対して、この一般化された設定においてハミルトニアン形式とラグランジュ形式が同等である条件は何か。
• RQ5 この形式は、対称性を持つ場の理論の還元をどのように促進するか。また、その還元において多シンプレクティック構造は果たす役割は何か。

主な発見

• リー代数準同型 $\pi: E \to F$ のジャンプ空間 $\mathcal{J}\pi$ はアフィンバンドルであり、標準的ジャンプバンドル理論におけるそれらに類似した自然な幾何的構造を備えている。
• $\mathcal{J}\pi$ のアフィン双対上に標準的多シンプレクティック形式 $\Omega$ が存在し、場の運動方程式の一貫性のある多シンプレクティック定式化を可能にする。
• Euler-Lagrange方程式は、ラグランジュ関数 $L$ に付随するカルタン形式 $\Theta_L$ から導出され、解は $d\Theta_L = 0$ を満たす。
• ベースとなるリー代数準束が接バンドルである場合、形式は変分的記述を備え、場の運動方程式が作用関数の変分から自然に導かれる。
• 形式は、Euler-Poincaré や Lagrange-Poincaré 方程式といった既知の式を特別な例として回復しており、主 bundle 上の接続や正則写像に対しても適用可能である。
• ハミルトニアン形式が構築され、ハイパーレギュラー性のもとでラグランジュ形式と同等であることが示され、両アプローチを統合する形式が提供された。