[論文レビュー] Classical geodesics from the canonical quantisation of spacetime coordinates

Iñaki Garay, Salvador Robles-Pérez|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における時空座標の正準量子化を提案し、この手続きを経て得られる量子ケルイン＝ゴルドン方程式から、古典的測地線が導かれることが示されている。一般化されたモーパルトゥイの原理を用いて、曲がった時空における測地線を、有効ポテンシャルを持つ共形的に関連する時空における非アフィン測地線に結びつけることで、古典的測地線方程式とニュートン的極限におけるシュレーディンガー方程式が回復され、量子場理論、一般相対性理論、非相対論的量子力学が単一の枠組みで統一される。

ABSTRACT

A canonical quantisation of the coordinates of the spacetime within the general relativity theory is proposed. This quantisation will depend on the observer but it provides an interesting perspective on the problem of relating the non-relativistic and classical limits of a possible quantum gravity theory. In this sense, within this formalism, it is possible to recover from the quantum equation satisfied by a test field the classical geodesics of the corresponding spacetime. On the other hand, the Schrödinger equation is recovered in the Newtonian limit. A key ingredient for this procedure is a generalization of the Maupertuis principle, that is, the possibility of describing the geodesics of a given metric as the non-affine geodesics of other conformal metric under the action of a potential.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における時空座標の正準量子化を検討し、観測者に依存するが量子重力への橋渡しを提供するものとする。
• この量子化手続きを経て得られる量子ケルイン＝ゴルドン方程式から、古典的測地線がどのように回復されるかを示す。
• 重力および物質場の古典的・量子的・非相対論的極限を、同一の形式的枠組み内で統一する。
• 量子化された時空座標のニュートン的極限が、計量の時間成分から導かれるポテンシャルを有するシュレーディンガー方程式をもたらすことを示す。

提案手法

• 再パラメトライゼーション不変な作用を用いて時空座標に正準量子化を適用し、ケルイン＝ゴルドン型方程式を生成するハミルトニアン制約を導出する。
• 一般化されたモーパルトゥイの原理を用いて、計量 $ g_{\mu\nu} $ を持つ時空における測地線を、有効ポテンシャル $ \tilde{V}(x) $ を持つ共形的に関連する時空における非アフィン測地線に写像する。
• 正準量子化による時空座標の量子化から導かれる $ \hbar $-依存係数を持つケルイン＝ゴルドン方程式を満たす量子波動関数 $ \phi $ を構築する。
• $ \hbar $ のべき級数における半古典的展開を実行し、ゼロ次項が時空の古典的測地線方程式を再現することを示す。
• $ \hbar \to 0 $ の極限をとることでニュートン的極限を導出し、有効ポテンシャル $ \tilde{V}(x) $ を特定し、曲がった空間におけるシュレーディンガー方程式を導く。
• 静的座標系におけるデ de Sitter 時空にこの形式的枠組みを適用し、測地線が曲がった3次元空間における中心力場下での運動に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空における古典的測地線は、時空座標の正準量子化によって得られる量子方程式から導出可能か？
• RQ2 一般化されたモーパルトゥイの原理は、与えられた時空における測地線と、有効ポテンシャルを持つ共形的に関連する時空における軌道とをどのように関連付けるか？
• RQ3 時空座標の正準量子化は、非相対論的極限でシュレーディンガー方程式を導くか？
• RQ4 de Sitter 時空におけるBunch-Davies真空状態を用いて、古典的測地線方程式を回復できるか？
• RQ5 ケルイン＝ゴルドン方程式に $ \hbar $ を含めることで、古典的および非相対論的極限がどのように回復されるか？

主な発見

• $ \hbar $-展開における波動関数のゼロ次項が、時空の古典的測地線方程式を満たし、古典的軌道が量子的時空座標から出現することを示している。
• 静的座標系におけるde Sitter時空の測地線方程式が、量子化時空座標のBunch-Davies真空状態から回復され、形式的枠組みの整合性が確認された。
• 量子化時空座標のニュートン的極限は、計量の時間成分から導かれるポテンシャル $ \tilde{V}(x) $ を持つシュレーディンガー方程式をもたらし、期待される非相対論的力学と一致する。
• 一般化されたモーパルトゥイの原理により、曲がった時空における測地線を、有効ポテンシャルを持つ共形的に関連する時空における非アフィン測地線として記述可能となり、古典的および量子的記述の幾何学的統一が可能となる。
• 正準量子化による時空座標から得られるケルイン＝ゴルドン方程式には、物質場および時空幾何学の両方の情報が含まれており、測地線方程式が $ \hbar $-依存係数に埋め込まれている。
• この形式的枠組みは、古典的極限（測地線）、量子的極限（ケルイン＝ゴルドン）、非相対論的極限（シュレーディンガー方程式）を一貫して統合しており、あらゆる領域で整合性を示している。