[論文レビュー] Classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations as hierarchy of isomonodromic deformations. Free fields approach

A. Levin, M. A. Olshanetsky|ArXiv.org|Sep 29, 1997

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、自由場理論からのハミルトニアン還元を経て、マーク付きリーマン面における平坦接続のゲージ対称性および微分同相変換の下での還元によって、Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) 方程式の古典的極限が、等モノドロミー変形の階層（HID）として確立される。平坦接続のゲージ対称性および微分同相変換の下での還元により、Lax方程式およびモノドロミーが保存される線形系が得られ、それらの等モノドロミー変形がHIDを定義する。既知の系、例えばSchlesinger方程式やPainlevé VI方程式が回復され、臨界レベル極限においてHitchin系と関連づけられる。

ABSTRACT

We investigate the classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations, considered as a system of non-stationar Schröodinger equations on singular curves, where times are the moduli of curves. It has a form of reduced non-autonomous hamiltonian systems which include as particular examples the Schlesinger equations, Painlevé VI equation and their generalizations. In general case, they are defined as hierarchies of isomonodromic deformations (HID) with respect to changing the moduli of underling curves. HID are accompanying with the Whitham hierarchies. The phase space of HID is the space of flat connections of $G$ bundles with some additional data in the marked points. HID can be derived from some free field theory by the hamiltonian reduction under the action of the gauge symmetries and subsequent factorization with respect to diffeomorphisms of curve. This approach allows to define the Lax equations associated with HID and the linear system whose isomonodromic deformations are provided by HID. In addition, it leads to description of solutions of HID by the projection method. In some special limit HID convert into the Hitchin systems. In particular, for $\SL$ bundles over elliptic curves with a marked point we obtain in this limit the elliptic Calogero $N$-body system

研究の動機と目的

• 臨界レベルを超えたHitchinプログラムの拡張を目的とし、KZB方程式の古典的極限を非自己同型ハミルトニアン系として解釈すること。
• シンプレクティック還元および曲線の微分同相変換の因子分解を経て、自由場理論から等モノドロミー変形の階層（HID）を導出すること。
• HIDと既知の可積分系（Schlesinger方程式やPainlevé VI方程式）との対応関係を、Lax表現および線形系を用いて確立すること。
• 射影法を用いてHIDの解を記述し、有理曲線および楕円曲線の場合に既知の解法を高 genus 曲線へ一般化すること。
• 臨界レベル極限（κ=0）においてHIDがHitchin系に還元されることを示し、特にマーク付き楕円曲線上のSL(N,C)バンドルに対して、楕円型Calogero N体系が得られることを示すこと。

提案手法

• マーク付き曲線のモジュライ空間上のバンドルを構成し、その纤维は平坦接続 (A, A̅) およびマーク付き点における共軛軌道からなる。
• 全空間に退化した閉2形式 ω を定義し、その纤维上で非退化であるようにしてハミルトニアン構造を設定する。
• 接続のゲージ対称性の下でのハミルトニアン還元と、その後の曲線の微分同相変換の因子分解を用いて、平坦接続のモジュライ空間を構成する。
• 時間に依存する2次Hitchinハミルトニアンを、モジュライ空間 M_{g,n} の接空間の座標でパrameter化された時間変数を用いて導出する。
• モノドロミーが変形のもとで保存される線形補助系を構成し、HIDが等モノドロミー変形の整合性条件であることを示す。
• 射影法を適用して、線形演算を用いてHIDの解を記述し、有理曲線および楕円曲線の場合の既知の技法を高 genus および高ランクの場合に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KZB方程式の古典的極限は、臨界レベルを超えてどのように等モノドロミー変形の階層（HID）として解釈できるか？
• RQ2 自由場理論およびハミルトニアン還元は、HIDの位相空間および力学の構築において果たす役割は何か？
• RQ3 得られたHID系は、Schlesinger方程式やPainlevé VI方程式といった既知の可積分系とどのように関係しているか？
• RQ4 HIDは臨界レベル極限においてどのようにHitchin系に還元され、楕円型Calogero系に与える意味は何か？
• RQ5 HIDの解は、線形射影法を用いて体系的に記述可能か？また、これは高 genus 曲線へどのように一般化されるか？

主な発見

• KZB方程式の古典的極限は、非自己同型ハミルトニアン系（HID）を生じ、時間変数はモジュライ空間 M_{g,n} の接空間の座標として与えられる。
• HIDは自由場理論からのハミルトニアン還元により導出され、位相空間は平坦Gバンドル接続およびマーク付き点における共軛軌道で与えられる。
• HIDのLax表現および線形系が明示的に構成され、方程式が等モノドロミー変形の整合性条件であることが確認された。
• genus 0 の場合、構成はSchlesinger方程式を再現する。genus 1 で1つのマーク付き点およびSL(2,C)の場合、Painlevé VI方程式の族が得られる。
• 臨界レベル極限（κ=0）においてHIDはHitchin系に還元され、特に楕円曲線上のSL(N,C)バンドルに1つのマーク付き点がある場合、系は楕円型Calogero N体系に一致する。
• HIDの解は射影法により記述され、これは高 genus および高ランクの場合に一般化された線形的手法である。