[論文レビュー] The KZB equations on Riemann surfaces

Giovanni Felder|ArXiv.org|Sep 18, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、マークド点をもつ genus ≥2 のリーマン面のモジュライ空間上の Knizhnik–Zamolodchikov–Bernard (KZB) 接続に対して、動的 r-行列を用いて共変微分を表現する明示的な公式を提供する。主な結果は普遍的平坦性の主張である：共変微分は普遍包あ仮想代数の係数をもつ微分作用素として可換であり、コンフォーマルブロックに依存せず、一般の複素数 κ に対しても成り立つ、κ=0 を含む。

ABSTRACT

In this paper, based on the author's lectures at the 1995 les Houches Summer school, explicit expressions for the Friedan--Shenker connection on the vector bundle of WZW conformal blocks on the moduli space of curves with tangent vectors at $n$ marked points are given. The covariant derivatives are expressed in terms of ``dynamical $r$-matrices'', a notion borrowed from integrable systems. The case of marked points moving on a fixed Riemann surface is studied more closely. We prove a universal form of the (projective) flatness of the connection: the covariant derivatives commute as differential operators with coefficients in the universal enveloping algebra -- not just when acting on conformal blocks.

研究の動機と目的

• マークド点をもつ高(genus)のリーマン面のモジュライ空間上での KZB 接続の明示的で座標に依存しない表現を提供すること。
• 特定の表現やコンフォーマルブロックに依存しない普遍的な形で接続の平坦性を確立すること。
• 動的 r-行列と ℓ-作用素を通じて、KZB 接続を古典的可積分系と関連付けること。
• q-変形の conformal field theory を高(genus)のリーマン面上に展開する基盤を築くため、r-行列を用いて古典的状況を定式化すること。

提案手法

• G=SL(N,C) に対する G-バンドルのモジュライ空間の二重コセット表現を用い、コンフォーラルブロックを特定の群作用に関して変換する holomorphic 関数として定義する。
• 共変微分は、2階微分作用素 A(z) を含む contour 積分で表現され、A(z) は2次微分形式と接ベクトル ζ に依存する。
• 接続はエネルギー運動量テンソルの挿入によって定義され、共変微分は ∇_ζu = ∂_ζu + (1/2πi)∮ A(z)ζ(z)dz u で与えられる。ここで A(z) は動的 r-行列から構成される。
• 共変微分の交換子が普遍包あ仮想代数の係数をもつ微分作用素として消えることにより、平坦性を普遍的に証明する。
• 証明は古典的動的ヤン・バクスター方程式と双対コクセター数に依存し、普遍包あ仮想代数内のトレース恒等式を用いる。
• この枠組みは、genus ≥2 における Hitchin のアプローチを一般化し、ハミルトニアンのポisson可換性を全接続へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マークド点をもつ高(genus)のリーマン面のモジュライ空間上での KZB 接続を、特定の座標やパrametrization に依存しない形で明示的に定式化することは可能か？
• RQ2 KZB 接続は、コンフォーラルブロックへの作用を超えて、一般の複素数 κ に対し、普遍的に平坦であるか？
• RQ3 動的 r-行列が共変微分を表現し、平坦性を保証するために果たす正確な役割は何か？
• RQ4 古典的 KZB 方程式は、ℓ-作用素や r-行列といった可積分系構造を用いて再定式化可能か？その結果、q-変形が可能になるか？
• RQ5 双対コクセター数は、KZB 接続の曲率計算においてどのように自然に現れるか？

主な発見

• KZB 接続における共変微分は、普遍包あ仮想代数の係数をもつ微分作用素として表現され、その交換子は普遍的に消える。これにより、コンフォーラルブロックに依存しない平坦性が証明される。
• 平坦性の結果は、すべての複素数 κ に対して成り立ち、特異点 κ=0 を含む。κ=0 は幾何的ラングランズ理論や Hitchin システムの量子化において重要である。
• 接続はマークド点をもつリーマン面のモジュライ空間上で射影的に平坦であることが示され、genus 0 および 1 の既知の結果を一般化する。
• 曲率計算の背後には動的 r-行列構造が存在し、双対コクセター数の出現は普遍包あ仮想代数内のトレース恒等式によって説明される。
• 共変微分の主記号はハミルトニアンとして可換であり、KZB 接続が可積分系およびマークド点をもつ Hitchin システムと結びつく。
• この枠組みは、q-変形に適した普遍的かつ座標に依存しない KZB 方程式の定式化を提供し、サンクトペテルブルクの q-変形のレシピの第一段階を完了する。