[論文レビュー] Classical relativistic systems of charged particles in the front form of dynamics and the Liouville equation

V. I. Tretyak, A. V. Nazarenko|ArXiv.org|May 5, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ディラックの制約ハミルトニアン力学を用いてゲージ自由度を除去することで、前形式の力学における電荷を帯びた粒子系と電磁場が結合した古典的相対論的系のゲージ不変なハミルトニアン形式を構築する。位相空間分布関数のためのリウヴィル方程式を導出し、場の変数について明示的な統合を含む相対論的分配関数を可能にすることで、明示的な共変なゲージ固定設定における相対論的統計力学の一貫した枠組みを提供する。

ABSTRACT

Classical relativistic system of point particles coupled with an electromagnetic field is considered in the three-dimensional representation. The gauge freedom connected with the chronometrical invariance of the four-dimensional description is reduced by use of the geometrical concept of the forms of relativistic dynamics. The remainder gauge degrees of freedom of the electromagnetic potential are analysed within the framework of Dirac's constrained Hamiltonian mechanics in the front form of dynamics. The results are implemented to the problems of relativistic statistical mechanics. Based on the corresponding Liouville equation the classical partition function of the system is written down in a gauge-invariant manner and an integration over field variables is performed.

研究の動機と目的

• 相対論的電荷を帯びた粒子と電磁場が結合する系の、前形式の力学における一貫したハミルトニアン記述を構築すること。
• 時空計測不変性および電磁場のU(1)対称性に起因するゲージ自由度を、ディラックの制約ハミルトニアン形式を用いて除去すること。
• 前形式における位相空間分布関数のためのゲージ不変なリウヴィル方程式を構築すること。
• 場の変数について明示的にゲージ不変な方法で統合することで、相対論的分配関数を導出すること。
• 粒子および場の自由度を併せ持つ相対論的系の、一貫した統計力学的記述を可能にすること。

提案手法

• 系は、点粒子と質量ゼロのベクトル場を含む4次元作用関数で記述され、明示的なローレンツ不変性を保つ。
• 前形式の力学は、時間発展を固定するためのσ(x) = tで定義される自己的超曲面によるミンコフスキー空間のファイブレーションとして実装される。
• 特異ラグランジアンに起因する制約をディラックの方法で分析し、ゲージ対称性に関連する第一種制約を同定する。
• ゲージ自由度は、物理的でない自由度を除去しながらディラック括弧構造を保存する正準変換によって除去される。
• 位相空間分布関数のためのリウヴィル方程式が導出され、時間発展における位相空間体積の保存が保証される。
• 経路積分において場の変数を統合することで分配関数が構成され、ゲージ不変な統計集団が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空計測不変性および電磁場のU(1)対称性に起因するゲージ自由度は、前形式の相対論的力学においてどのように一貫して除去可能か？
• RQ2 前形式における電荷を帯びた粒子および電磁場の古典的相対論的系のリウヴィル方程式の構造は何か？
• RQ3 前形式において場の変数について統合することで、ゲージ不変な相対論的分配関数を導出できるか？
• RQ4 前形式の力学は、統計力学における場の自由度の統合をどのように簡略化するか？
• RQ5 制約付き系における時間発展演算子の下で、位相空間体積を保存するにあたり、ディラック括弧の果たす役割は何か？

主な発見

• 前形式におけるリウヴィル方程式は、ハミルトニアンによって生成される正準変換のヤコビアンの不変性により、時間発展において位相空間体積を保存することが証明された。
• 前形式におけるハミルトニアンは、H = φₜ g⁻¹ [√(g(m² + p²) + (pᵢφⁱ)²) + pᵢφⁱ] として表され、等方的極限ではH = -½ φₜ (m² + p²)/pᵢφⁱ に簡略化される。
• 電磁ポテンシャルに関連するゲージ自由度は、正準変換によって完全に除去され、物理的自由度のみが残る。
• 場の位相空間体積がディラック括弧によって保存されることを根拠に、場の変数について統合することでゲージ不変な相対論的分配関数が構成された。
• リウヴィル方程式の平衡解は、粒子および場の両方の寄与を含む古典的ギブズ集団に対応する。
• 形式的枠組みにより、前形式の構造および制約解析の性質に起因して非自明な結果であるが、分配関数における場の変数の明示的統合が可能となった。