[論文レビュー] Classical shadows of stated skein representations at roots of unity

Julien Korinman, Alexandre Quesney|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Lﻡの提示された skein 代数を用いて、開いた穿孔付き曲面への古典的結果の一般化を試みる。パラメータ +1 における提示された skein 代数が、奇数次の単位根における代数の中心へ自然に埋め込まれることを証明し、+1 における代数と相対 SL2-特徴多様体上の正則関数の代数との間に同型を構成する。これにより、各既約表現または局所表現は、その古典的シャドウを通じて特徴多様体上の点に対応づけられる。

ABSTRACT

We extend some results of Bonahon, Bullock, Turaev and Wong concerning the skein algebras of closed surfaces to L^e's stated skein algebra associated to open surfaces. We prove that the stated skein algebra with deforming parameter +1 embeds canonically into the centers of the stated skein algebras whose deforming parameter is an odd root unity. We also construct an isomorphism between the stated skein algebra at +1 and the algebra of regular function of a generalization of the SL2-character variety of the surface. As a result, we associate to each isomorphism class of irreducible or local representations of the stated skein algebra, an invariant which is a point in the character variety.

研究の動機と目的

• 閉曲面から開いた穿孔付き曲面への skein 代数および特徴多様体に関する古典的結果の一般化。
• パラメータ +1 における提示された skein 代数が、奇数次の単位根における代数の中心へ自然に埋め込まれることの確立。
• 開いた穿孔付き曲面の相対 SL2-特徴多様体上の正則関数の代数と、+1 における提示された skein 代数との間の同型の構成。
• 提示された skein 代数の既約または局所表現の各同型類に対して、古典的シャドウ不変量を定義し、それらを相対特徴多様体上の点に写像すること。

提案手法

• 境界弧を持つ開曲面への Kauffman ブラケット skein 代数の一般化である L\ufee1 の提示された skein 代数の構成を利用する。
• 順序に依存しない gluing モルフィズム i|a#b: Sω(Σ|a#b) ↠ Sω(Σ) を用い、三角形代数のテンソル積への三角形分割に基づく埋め込みを可能にする。
• トゥール・ダイアグラムにおけるフィルトレーションとリーディング・ターム解析を用いて、すべての βµ,µ' と可換で、次数 < 2N である元が定数でなければならないことを証明する。
• q が奇数次の単位根であるとき、行列の積のトレースとその N 乗のトレースとの関係を、量子トレースとチェビシェフ多項式 TN の性質を用いて関係づける。
• ω = +1 における提示された skein 代数が、相対 SL2-特徴多様体の座標環と同型であることを、ポisson 構造と代数の非退化性を用いて示す。
• すべての βµ,µ' と可換で、次数 < 2N である元が定数でなければならないという重要な補題を用い、主な埋め込み結果の証明に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開曲面において、パラメータ +1 における提示された skein 代数が、奇数次の単位根における代数の中心へ自然に埋め込まれるか？
• RQ2 開いた穿孔付き曲面の相対 SL2-特徴多様体上の正則関数の代数と、+1 における提示された skein 代数との間に自然な同型が存在するか？
• RQ3 提示された skein 代数の既約または局所表現の各同型類は、相対特徴多様体上のwell-definedな点に対応づけられるか？
• RQ4 提示された skein 代数の文脈において、古典的シャドウ構成は、閉曲面から開曲面へどのように一般化されるか？

主な発見

• パラメータ +1 における提示された skein 代数が、奇数次の単位根 N > 1 における代数の中心へ自然に埋め込まれる。
• 開曲面の相対 SL2-特徴多様体上の正則関数の代数と、+1 における提示された skein 代数との間に自然な同型が存在する。
• 提示された skein 代数の任意の既約または局所表現の古典的シャドウは、相対 SL2-特徴多様体上のwell-definedな点である。
• 主な結果、命題 2.38 は、特定の曲面上の提示された skein 代数において TN(α++ + α−−) = αN++ + αN−− が成り立つことを示し、これは同型および埋め込み結果に不可欠である。
• 証明は、トゥール・ダイアグラムのリーディング・タームと、すべての βµ,µ' と可換で次数 < 2N である元が定数でなければならないという事実に基づく次数の議論に依存する。
• この結果は、Bonahon の量子トレースに関する定理を、開曲面の文脈に一般化し、q が奇数次の単位根であるとき TN(Tr(A1...Ak)) = Tr(A(N)1...A(N)k) が成り立つことを示している。