[論文レビュー] Classification and threshold dynamics of stochastic reaction networks

Carsten Wiuf, Chuang Xu|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続時間マーカフチェーン（CTMC）としてモデル化された1次元確率的反応ネットワーク（SRN）の完全な分類と閾値解析を提供する。4つの主要パラメータに基づく明確で検証可能な基準を確立し、爆発性、再帰性、エルゴード性、および定常分布または準定常分布の尾部挙動を評価する。すべての弱可逆的で1次元の質量作用則を満たすSRNが正再帰的であり、CMPに類似した定常分布を持つことを証明した。これにより、1次元における正再帰性の予想が裏付けられた。

ABSTRACT

Stochastic reaction networks (SRNs) provide models of many real-world networks. Examples include networks in epidemiology, pharmacology, genetics, ecology, chemistry, and social sciences. Here, we model stochastic reaction networks by continuous time Markov chains (CTMCs) and pay special attention to one-dimensional mass-action SRNs (1-d stoichiometric subspace). We classify all states of the underlying CTMC of 1-d SRNs. In terms of (up to) four parameters, we provide sharp checkable criteria for various dynamical properties (including explosivity, recurrence, ergodicity, and the tail asymptotics of stationary or quasi-stationary distributions) of SRNs in the sense of their underlying CTMCs. As a result, we prove that all 1-d endotactic networks are non-explosive, and positive recurrent with an ergodic stationary distribution with Conley-Maxwell-Poisson (CMP)-like tail, provided the state space of the associated CTMCs consists of closed communicating classes. In particular, we prove the recently proposed positive recurrence conjecture in one dimension: Weakly reversible mass-action SRNs with 1-d stoichiometric subspaces are positive recurrent. The proofs of the main results rely on our recent work on CTMCs with polynomial transition rate functions.

研究の動機と目的

• 質量作用則を伴う1次元確率的反応ネットワーク（SRN）におけるすべての通信クラスを分類すること。
• 1次元SRNにおける爆発性、再帰性、エルゴード性などの動的特性について、明確で検証可能な基準を導出すること。
• 1次元における弱可逆的質量作用則SRNの正再帰性予想を解決すること。
• 1次元SRNにおける定常分布および準定常分布の尾部漸近挙動を特徴付けること。
• すべての内向的（endotactic）1次元SRNが非爆発的であり、正再帰的でCMPに類似した尾部を持つことの確立

提案手法

• 1次元SRNを多項式遷移率関数を有する連続時間マーカフチェーン（CTMC）としてモデル化する。
• 反応化学计量と速度定数から導かれる4つの主要パラメータ—R、α、β、γ—を導入し、システムのダイナミクスを特徴付ける。
• 多項式率を有するCTMCに関する最近の結果を応用し、非爆発性および正再帰性の必要十分条件を導出する。
• 幾何学的および代数的技法を用いて通信クラスを分類し、状態空間の構造を分析する。
• 尾部挙動の基準としてコンリー＝マクスウェル＝ポアソン（CMP）分布を用い、定常分布および準定常分布と関連付ける。
• スイープテストおよびフェース解析を用いて、反応ネットワークにおける内向き性および弱可逆性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量作用則を伴う1次元確率的反応ネットワークにおける完全な通信クラス構造は何か？
• RQ2 1次元SRNが非爆発的、再帰的、またはエルゴード的であるためのパラメータ条件は何か？
• RQ3 すべての弱可逆的で1次元の質量作用則SRNは、正再帰的でエルゴード的定常分布を示すか？
• RQ4 1次元SRNにおける定常分布および準定常分布の尾部挙動は何か？また、CMP分布とどのように関係するか？
• RQ5 すべての内向き1次元SRNは非爆発的かつ正再帰的か？

主な発見

• すべての1次元弱可逆的質量作用則SRNは正再帰的であり、1次元における正再帰性予想が裏付けられた。
• すべての1次元内向きSRNは非爆発的であり、一意のエルゴード的定常分布を有し、CMPに類似した尾部減衰を示す。
• 1次元SRNの定常分布および準定常分布は、尾部挙動において三つに分類される：超指数的（CMPに類似）、指数的（幾何分布に類似）、または指数的未満（べき乗則に類似）。
• 4つのパラメータを用いた非爆発性の必要十分条件が導出され、明確な閾値基準が得られた。
• R=1かつα=0の1次元SRNでは、正の反応が存在しない単一の状態{0}に還元され、T={0}かつP=∅となる。
• 1次元SRNの定常分布の尾部がCMP分布と類似するとは、かつそれがシステムが本質的かつ内向きである場合に限り成り立ち、尾部挙動は4つのパラメータによって完全に決定される。