[論文レビュー] Classification of (2+1)D invertible fermionic topological phases with symmetry

Maissam Barkeshli, Yu-An Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般のフェルミオン的対称性群 $G_f$ と任意のヘリカル中心電荷 $c_-$ を持つ (2+1)D における可逆的フェルミオン的トポロジカル相の完全分類を、$G_b$-交差ブラケットテンソルカテゴリと $ {Spin}(2c_-)_1$ クラウジン＝シモンズ理論に背景ゲージ場を導入した2つの補完的アプローチを用いて行う。主な結果は、フェルミオン的対称性保護相および10倍の方法の先行研究を一般化・拡張する、物理的に明確で計算に適した分類スキームであり、非ゼロ $c_-$ に対する新たな異常と整合性制約を同定する。

ABSTRACT

We provide a classification of invertible topological phases of interacting fermions with symmetry in two spatial dimensions for general fermionic symmetry groups $G_f$ and general values of the chiral central charge $c_-$. Here $G_f$ is a central extension of a bosonic symmetry group $G_b$ by fermion parity, $(-1)^F$, specified by a second cohomology class $[ω_2] \in \mathcal{H}^2(G_b, \mathbb{Z}_2)$. Our approach proceeds by gauging fermion parity and classifying the resulting $G_b$ symmetry-enriched topological orders while keeping track of certain additional data and constraints. We perform this analysis through two perspectives, using $G$-crossed braided tensor categories and Spin$(2c_-)_1$ Chern-Simons theory coupled to a background $G$ gauge field. These results give a way to characterize and classify invertible fermionic topological phases in terms of a concrete set of data and consistency equations, which is more physically transparent and computationally simpler than the more abstract methods using cobordism theory and spectral sequences. Our results also generalize and provide a different approach to the recent classification of fermionic symmetry-protected topological phases by Wang and Gu, which have chiral central charge $c_- = 0$. We show how the 10-fold way classification of topological insulators and superconductors fits into our scheme, along with general non-perturbative constraints due to certain choices of $c_-$ and $G_f$. Mathematically, our results also suggest an explicit general parameterization of deformation classes of (2+1)D invertible topological quantum field theories with $G_f$ symmetry.

研究の動機と目的

• 任意のフェルミオン的対称性群 $G_f$ とヘリカル中心電荷 $c_-$ を持つ (2+1)D における可逆的フェルミオン的トポロジカル相の完全で物理的に明確な分類を提供すること。
• フェルミオン的 SPT と10倍の方法の Wang-Gu 分類を、非ゼロ $c_-$ および一般の $G_f$ を含む形に一般化すること。
• 特に奇数 $c_-$ に対する「ハーフィング」異常を同定・特徴づけ、特定の対称性分数量パターンの実現を妨げる障害となること。
• このような相を分類するための明確で計算可能なデータセット（$n_1, n_2, \nu_3, \{L_g\}$）と整合性条件を確立すること。
• 分類が $G_b$-交差ブラケットテンソルカテゴリおよび $ {Spin}(2c_-)_1$ クラウジン＝シモンズ理論に背景 $G_b$ ゲージ場を導入した両方のアプローチから導出可能であることを示すこと。

提案手法

• フェルミオンのパリティをゲージ化して $G_f$ 対称性を持つ理論を $G_b$ 対称性拡張トポロジカル秩序に変換し、その結果得られる $G_b$-交差ブラケットテンソルカテゴリ（BTC）を分類する。
• $G_b$-交差 BTC フレームワークを用いて対称性分数量、任意子フラックスラベル $L_g$、および欠陥障害条件 $dn_2 = \omega_2 \cup_1 \omega_2$ などの整合性制約を定義・追跡する。
• $\mathrm{Spin}(2c_-)_1$ クラウジン＝シモンズ理論に背景 $G_b$ ゲージ場を結合させ、フェルミオン的相のボソン的シャドウを記述する。$c_-$ がレベルを決定する。
• $G_b$-交差 BTC データとクラウジン＝シモンズ不変量との間のマッピングを通じて、$(n_1, n_2, \nu_3)$ とフラックスラベル $\{L_g\}$ の関係を確立し、異常キャンセレーションからの制約を導出する。
• BTC およびクラウジン＝シモンズ両アプローチを用いて $c_-$, $n_1$, $\omega_2$, $\nu_3$ のスタッキング則を導出し、ゲージ変換下での同値関係を同定する。
• ステイフェル＝ホイットニー類およびポントリャーギン類に関する数学的恒等式を用いて、$ {Spin}(2c_-)_1$ 理論における重力的異常を分析し、特に奇数 $c_-$ の場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のフェルミオン的対称性群 $G_f$ と任意のヘリカル中心電荷 $c_-$ を持つ (2+1)D における可逆的フェルミオン的トポロジカル相の完全分類は何か？
• RQ2 特に奇数 $c_-$ に対する「ハーフィング」異常はどのように生じ、対称性分数量パターンの可能性をどのように制約するか？
• RQ3 $G_b$-交差 BTC と $ {Spin}(2c_-)_1$ クラウジン＝シモンズアプローチが一貫してマッピング可能であり、統一的分類をもたらすか？
• RQ4 $n_1$, $n_2$, および $\nu_3$ の不変量は、ゲージ化理論における対称性デフェクトおよびフラックスの物理的データとどのように関係するか？
• RQ5 これらの相のスタッキング則と同値関係は何か？また、$c_-$ が偶数か奇数かによってどのように異なるか？

主な発見

• 奇数 $c_-$ の場合、$\omega_2$ が非自明であると $dn_2 = \omega_2 \cup_1 \omega_2$ は解を持たず、$n_1 \neq 0$ でない限り一貫した対称性分数量化が不可能であるという障害が生じる。
• $G_f = SU(2)^f$ で $c_-$ が奇数の場合の「ハーフィング」異常は、$c_- = -2$ の重力的クラウジン＝シモンズ項によってキャンセルされ、境界寄与がない限りこのような相は $c_-$ を偶数に制限することを示唆する。
• $G_f = \mathbb{D}_8^f$ で $c_-$ が奇数の場合、$n_1 \neq 0$ でない限り一貫した解が得られない。これは非自明な $n_1$ が $\omega_2$ による $\mathcal{H}^3$ 障害をキャンセルできることを示している。
• $G_b$-交差 BTC を用いた分類は、明確なデータセット $(n_1, n_2, \nu_3)$ と $\{L_g\}$ を提供し、コボルディズムやスペクトル系列法よりも計算が容易な整合性条件を有する。
• $\mathrm{Spin}(2c_-)_1$ クラウジン＝シモンズ理論に背景 $G_b$ ゲージ場を導入した理論は、フェルミオン的相のボソン的シャドウを正しく捉えており、$c_-$ が半整数、偶数、奇数であるかによってその内在的対称性構造が異なる。
• 10倍の方法によるトポロジカル絶縁体および超伝導体の分類は、$c_- = 0$ かつ $G_f = G_b \times \mathbb{Z}_2^f$ の特別な場合として、この枠組みに埋め込まれている。