[論文レビュー] Symmetry-protected topological orders for interacting fermions -- Fermionic topological nonlinear $σ$ models and a special group supercohomology theory

Zheng‐Cheng Gu, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Jan 12, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、フェルミオン系の相互作用的対称性保護型トップولوجical（SPT）相を分類するための特別な群スーパoccohomology理論を導入し、ボソン系の群コhomologyを一般化する。フェルミオン系SPT波動関数とバルクハミルトニアンを構成し、異常な境界モードを予測し、自由フェルミオンやボソン理論では実現できない新しい3次元および2次元SPT相——例えば $Z_2^T \times Z_2^f$ 対称性を持つ3次元フェルミオン的超伝導体——を同定する。

ABSTRACT

Symmetry-protected topological (SPT) phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry $G$, which can all be smoothly connected to the trivial product states if we break the symmetry. It has been shown that a large class of interacting bosonic SPT phases can be systematically described by group cohomology theory. In this paper, we introduce a (special) group supercohomology theory which is a generalization of the standard group cohomology theory. We show that a large class of short-range interacting fermionic SPT phases can be described by the group supercohomology theory. Using the data of super cocycles, we can obtain the ideal ground state wave function for the corresponding fermionic SPT phase. We can also obtain the bulk Hamiltonian that realizes the SPT phase, as well as the anomalous (ie, non-on-site) symmetry for the boundary effective Hamiltonian. The anomalous symmetry on the boundary implies that the symmetric} boundary must be gapless for 1+1D boundary, and must be gapless or topologically ordered beyond 1+1D. As an application of this general result, we construct a new SPT phase in 3D, for interacting fermionic superconductors with coplanar spin order (which have $T^2=1$ time-reversal $Z_2^T$ and fermion-number parity $Z_2^f$ symmetries described by a full symmetry group $Z_2^T imes Z_2^f$). Such a fermionic SPT state can neither be realized by free fermions nor by interacting bosons (formed by fermion-pairs), and thus are not included in the K-theory classification for free fermions or group cohomology description for interacting bosons. We also construct three interacting fermionic SPT phases in 2D with a full symmetry group $Z_2 imes Z_2^f$. Those 2D fermionic SPT phases all have central-charge $c=1$ gapless edge excitations, if the symmetry is not broken.

研究の動機と目的

• 標準的な群コhomologyによるボソン系SPT相の分類を、一般化されたスーパoccohomologyフレームワークを用いて、相互作用的フェルミオン系へと拡張すること。
• スーパーコサイクルデータを用いて、フェルミオン系SPT状態の明示的な基底状態波動関数およびバルクハミルトニアンを構成すること。
• フェルミオン系SPT相の対称境界は、ギャップなしまたはトポロジカル秩序を示さなければならないこと、したがって異常保護が成立することを示すこと。
• K理論による自由フェルミオンやボソン系の群コhomologyではカバーできない、2次元および3次元における新しいSPT相を同定すること。
• 非局所対称性を有するフェルミオン的トポロジカル非線形 $\sigma$ モデルを用いて、体系的な場理論的記述を提供すること。

提案手法

• フェルミオンのパリティと時間反転対称性を組み込んだ特別な群スーパoccohomology理論を、標準的群コhomologyの一般化として開発すること。
• スーパーコサイクルを用いて、トポロジカル秩序および対称性の性質を符号化した、フェルミオン系SPT状態の正確な波動関数を定義すること。
• SPT相を実現するバルクハミルトニアンを構築し、ギャップを持つバルクと、異常（非局所）対称性を有する境界を特徴とすること。
• 境界有効理論を解析して、非局所対称性が1+1次元ではギャップなし、より高い次元ではトポロジカル秩序を引き起こすことを示すこと。
• 具体的な対称性群、特に3次元における $Z_2^T \times Z_2^f$ および2次元における $Z_2 \times Z_2^f$ を用いて、明示的なモデルを導出すること。
• フェルミオン的非線形 $\sigma$ モデルを用いて、これらのSPT相の場理論的記述を提供し、そのトポロジカル性および対称性の異常を捉えること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由フェルミオン理論やボソン理論の枠組みを超えて、相互作用的フェルミオン系SPT相を分類する一般的なフレームワークを構築できるか？
• RQ2 フェルミオン統計および非アーベル的対称性（例：$Z_2^T \times Z_2^f$）は、SPT秩序の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 スーパーコサイクルは、フェルミオン系SPT相の正確な波動関数およびハミルトニアンの構成において、どのように機能するか？
• RQ4 なぜフェルミオン系SPT相の対称境界は、必然的にギャップなしまたはトポロジカル秩序を示すのか？
• RQ5 K理論やボソン系の群コhomologyではカバーできない、2次元および3次元における新しいSPT相を構築できるか？

主な発見

• 相互作用的フェルミオン系SPT相の広いクラスの分類を可能にする、新しい特別な群スーパoccohomology理論が構築された。
• この理論は、スーパーコサイクルデータを用いて、フェルミオン系SPT状態の明示的な波動関数およびハミルトニアンを提供する。
• フェルミオン系SPT相の境界は、異常（非局所）対称性を示し、1+1次元ではギャップなし、より高い次元ではトポロジカル秩序を示すことが示された。
• $Z_2^T \times Z_2^f$ 対称性を持つ相互作用的フェルミオン的超伝導体のための新しい3次元SPT相が構築され、これは自由フェルミオンやボソン的ペアでは実現不可能であることが示された。
• $Z_2 \times Z_2^f$ 対称性を持つ3つの異なる2次元フェルミオン系SPT相が同定され、それぞれが対称性が保たれる場合に中心電荷 $c=1$ のギャップレス境界モードを有する。
• フェルミオン的トポロジカル非線形 $\sigma$ モデルは、これらのSPT相の場理論的記述を提供し、そのトポロジカル不変量および対称性の異常を捉えている。