[論文レビュー] Classification of supersymmetries

Victor G. Kač|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、単純な線形コンパクトなリーハイパーアルゲブラを分類し、アフィン超代数およびバーチョロ代数の超拡張が、線形コンパクトな超コンformal代数の完全なリストであることを特定し、例外的リーハイパーアルゲブラ $E(3|6)$ が標準模型のゲージ群および粒子内容を記述しており、レプトンが3世代存在することを予測するとともに、クォークには複素構造が存在すると提唱している。

ABSTRACT

In the first part of my talk I will explain a solution to the extension of Lie's problem on classification of "local continuous transformation groups of a finite-dimensional manifold" to the case of supermanifolds. (More precisely, the problem is to classify simple linearly compact Lie superalgebras, i.e. toplogical Lie superalgebras whose underlying space is a topological product of finite-dimensional vector spaces). In the second part I will explain how this result is used in a classification of superconformal algebras. The list consists of affine superalgebras and certain super extensions of the Virasoro algebra. In the third part I will discuss representation theory of affine superalgebras and its relation to "almost" modular forms. Furthermore, I will explain how the quantum reduction of these representations leads to a unified representation theory of super extensions of the Virasoro algebra. In the forth part I will discuss representation theory of exceptional simple infinite-dimensional linearly compact Lie superalgebras and will speculate on its relation to the Standard Model.

研究の動機と目的

• 線形コンパクトなリーハイパーアルゲブラの単純な分類を実施し、リーハイパーアルゲブラの古典的問題を超対称的設定に拡張する。
• 線形コンパクトな超コンフォーマル代数を分類し、アフィン超代数およびバーチョロ代数の超拡張が完全なリストとして特定される。
• アフィン超代数表現の量子還元を用いて、超コンフォーマル代数の統一的表現理論を構築する。
• 例外的無限次元線形コンパクトリーハイパーアルゲブラ、特に $E(3|6)$ が標準模型とどのように関連するかを物理的意義の観点から探求する。
• $E(3|6)$ の表現理論が、素粒子物理学におけるフェルミオンの世代数およびゲージ対称性構造を説明できるかを検討する。

提案手法

• 超代数技法、特に超化および順序付き微分を用いて、単純な線形コンパクトリーハイパーアルゲブラを分類する。
• 形式的同型および構造論を用いて、無限次元原始的リーリー代数の分類を、超コンフォーマル代数へ応用する。
• アペル関数と関連する特性を持つ、アフィン超代数の適応表現を用い、モジュラー形式の一般化を実現する。
• アフィン超代数の適応表現の量子還元を用いて、バーチョロ代数の非線形超拡張の表現を構成する。
• $E(3|6)$ の部分代数 ${\mathfrak{a}}_0$ を分析し、それが標準模型ゲージ群の複素化されたリーリー代数 $SU_3 \times SU_2 \times U_1$ を6次の巡回群で割ったものと同型であることを特定する。
• $t$-系列解析における一貫性のある順序付けと誘導モジュールを用いて、粒子多重項の安定性および世代数の決定を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な線形コンパクトリーハイパーアルゲブラの完全な分類は何か？
• RQ2 どの超コンフォーマル代数が線形コンパクトであり、アフィン超代数およびバーチョロ代数とどのように関係するか？
• RQ3 アフィン超代数の表現理論を量子還元によって用いることで、超コンフォーマル代数の表現理論を統一できるか？
• RQ4 例外的リーハイパーアルゲブラ $E(3|6)$ は、標準模型のゲージ群および粒子内容を記述しているか？
• RQ5 なぜ $E(3|6)$ の表現理論は、正確に3つのレプトンの世代を予測するのか？

主な発見

• 線形コンパクトな超コンフォーマル代数の完全なリストは、アフィン超代数およびバーチョロ代数の超拡張の系列と1つの例外的例から成る。
• アフィン超代数の適応表現の量子還元により、バーチョロ代数の非線形超拡張の統一的表現理論が得られる。
• $E(3|6)$ の部分代数 ${\mathfrak{a}}_0$ は、$SU_3 \times SU_2 \times U_1$ を6次の巡回群で割った複素化されたリーリー代数と同型である。
• $E(3|6)$ の表現理論は、観測と整合的である3つのレプトンの世代を正確に予測する。
• このモデルは、完全な第4世代および不完全な第5世代のクォークを予測しており、欠落しているダウン型三重項が存在する。
• 標準模型ゲージ群の $SU_5$ への包含関係は、$E(3|6)$ がより大きな例外的超代数 $E(5|10)$ に包含されることに拡張され、より深い統一枠組みを示唆する。