[論文レビュー] Classifying spaces for proper actions of mapping class groups

Guido Mislin|ArXiv.org|May 6, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、 genus $g$、$r$ 個の境界成分、$s$ 個の特異点をもつ向きつけられた曲面の写像類群の、適切な作用の分類空間のココロプトモデルを構成する。$r$ と $s$ に関する帰納法を用い、既知の $Γ_{g,0}^0$ の場合のココロプトモデルに基づき、群の拡大と対称空間または双曲平面への幾何的作用を活用することで、すべての $Γ_{g,r}^s$ に対してそのようなモデルの存在を確立する。

ABSTRACT

We describe a cocompact model for the classifying space for proper actions of the mapping class group of a surface with punctures and boundary components. Our construction relies on a known model for the case of a closed surface and uses an induction on the number of punctures and boundary components.

研究の動機と目的

• 向きつけられた曲面の genus $g$、$r$ 個の境界成分、$s$ 個の特異点をもつすべての写像類群 $Γ_{g,r}^s$ に対して、分類空間 $\underline{E}\Gamma^{s}_{g,r}$ の一様なココロプトモデルの構成を提供すること。
• 既知の $Γ_{g,0}^0$ の場合の結果を、$r$ と $s$ のすべての組み合わせにまで帰納的技法を用いて拡張すること。
• すべてのこのような写像類群に対して、可縮空間への適切でココロプトかつ $\Gamma$-同変な作用の存在を確立すること。
• $g=0,1$ の低 genus の場合の写像類群の適切な作用の分類を、既知の自明性および同型性の結果を活用して解消すること。
• Ji や Wolpert による $Γ_{g,0}^s$ の既存の構成を統合・一般化し、単一の帰納的枠組みに統一すること。

提案手法

• 構成は、$r$ と $s$ に関する帰納法に従い、$\Gamma_{g,0}^0$ を基本ケースとして始める。
• 帰納ステップでは、$1 \to H \to \Gamma \to F \to 1$ の形の完全系列を用い、$F$ は有限群で、$H$ は有限生成自由群または $g>0$ の場合の曲面群 $\pi_1(S_g)$ である。
• 各拡大に対して、幾何的作用（自由群の場合は $\mathbb{R}^n$、$g>1$ の曲面群の場合は双曲平面 $U$）を用いて、$\underline{E}\Gamma$ のココロプト性が確立される。
• 鍵となる技術は、曲面からその万有被覆への有限群作用の上昇であり、Kerckhoff の定理を用いて双曲平面への忠実な等長作用を保証すること。
• 構成は、ココロプト $\underline{E}\Gamma$ をもつ群の有限拡大も、核が曲面群または自由群である限り、同様のモデルをもつことを根拠としている。
• 一般原理として、$H$ がココロプト $\underline{E}H$ をもつ場合、$F$ が有限群であれば、$\Gamma$ は幾何的または代数的上昇によりココロプト $\underline{E}\Gamma$ を引き継ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 向きつけられた曲面の genus $g$、$r$ 個の境界成分、$s$ 個の特異点をもつすべての写像類群に対して、$\underline{E}\Gamma^{s}_{g,r}$ の一様なココロプトモデルを構成できるか？
• RQ2 基本ケース $\Gamma_{g,0}^0$ から出発し、帰納的技法を用いてすべての $\Gamma_{g,r}^s$ にココロプトモデルの存在を拡張する方法は何か？
• RQ3 有限商群と曲面群または自由群を核とする群の拡大が、適切でココロプトな $\Gamma$-CW複体の構成に果たす役割は何か？
• RQ4 対称空間（例：$\mathbb{R}^n$ または上半平面）への幾何的作用が、適切な作用の分類空間のココロプト性を保証する仕組みは何か？
• RQ5 低 genus の場合（$g=0,1$）における構成の振る舞いは何か？例外的な場合の取り扱いはどのように行われるか？

主な発見

• 向きつけられた曲面の genus $g$、$r$ 個の境界成分、$s$ 個の特異点をもつすべての写像類群 $\Gamma_{g,r}^s$ に対して、$\underline{E}\Gamma^{s}_{g,r}$ のココロプトモデルが存在する。
• 構成は帰納的である：$\Gamma_{g,0}^0$ は既存の研究によりココロプトモデルをもつことから出発し、(B) の完全系列を用いて $\Gamma_{g,0}^s$ に拡張され、次に (D) を用いて $\Gamma_{g,r}^s$ に拡張される。
• $g \geq 2$ の場合、群 $\Gamma_{g,r}^s$ は双曲平面 $U$ をモデルとする2次元のココロプト $\underline{E}\Gamma$ をもつ。作用は双曲等長変換によって行われる。
• $g=0$ の場合、写像類群 $\Gamma_{0,0}^s$ は $s < 4$ のとき自明であり、完全系列を用いて $s$ や $r$ を高い値に拡張する。
• $g=1$ の場合、$\Gamma_{1,0}^0 \cong \Gamma_{1,0}^1$ であることを利用し、同じ帰納的枠組みで拡張される。
• この方法により、ココロプト $\underline{E}\Gamma$ をもつ群の有限拡大も、核が曲面群または有限生成自由群であれば、同様のモデルをもつことが確認された。