[論文レビュー] Clifford Algebras in Physics

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|Jun 1, 2005

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、4次元、10次元、11次元におけるポincare代数の超対称的拡張を構成する際に、クリフォード代数が根幹をなしていることを示している。クリフォード代数の行列表現を分析することで、メジャナラスピンォーとワイルスピンォーの存在が確立され、超対称性が自然にスーパマルチプレット内においてボソンとフェルミオンを等数で統合することを示している。低次元の理論は11次元のスーパー重力理論からの次元削減によって得られる。

ABSTRACT

We study briefly some properties of real Clifford algebras and identify them as matrix algebras. We then show that the representation space on which Clifford algebras act are spinors and we study in details matrix representations. The precise structure of these matrices gives rise to the type of spinors one is able to construct in a given space-time dimension: Majorana or Weyl. Properties of spinors are also studied. We finally show how Clifford algebras enable us to construct supersymmetric extensions of the Poincaré algebra. A special attention to the four, ten and eleven-dimensional space-times is given. We then study the representations of the considered supersymmetric algebras and show that representation spaces contain an equal number of bosons and fermions. Supersymmetry turns out to be a symmetry which mixes non-trivially the bosons and the fermions since one multiplet contains bosons and fermions together. We also show how supersymmetry in four and ten dimensions are related to eleven dimensional supersymmetry by compactification or dimensional reduction.

研究の動機と目的

• クリフォード代数が、ポincare代数の超対称的拡張を構成するための基礎的数学的枠組みとして確立されること。
• クリフォード代数の行列表現を用いて、時空次元に基づいてスピンォーの種別（メジャナラ、ワイル）を分類すること。
• 4次元、10次元、11次元における超対称性が、同一の代数的構造から生じることを示し、低次元理論が次元削減によって得られることを明らかにすること。
• 超対称性代数の既約表現にボソン的自由度とフェルミオン的自由度が等数含まれることを示すこと。
• 11次元のスーパー重力理論、タイプIIA/Bスーパーストリング理論、4次元のN=8スーパー重力理論の間の関係を、コンパクト化を通じて明確にすること。

提案手法

• 反交換関係 {e_M, e_N} = 2η_MN と計量符号 (t,s) で定義される実および複素クリフォード代数の使用。
• ディラックΓ行列を用いた、2^[d/2]-次元のスピンォー空間に作用するクリフォード代数の行列表現。
• Γ行列の対称性の性質を分析し、次元を8で割った剰余に基づいてワイルスピンォーとメジャナラスピンォーを分類すること。
• クリフォード代数表現からのスピンォー生成子を用いて、ポincare代数の非自明な拡張を構成すること。
• 余剰次元のコンパクト化により11次元超対称性を4次元に次元削減し、場をSpin(2)×Spin(7)分解に従って分解すること。
• 群論とブランチング則を用いて、次元削減の文脈でSpin(9)の表現をSpin(2)×Spin(7)の表現に分解すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリフォード代数は、異なる時空次元におけるメジャナラスピンォーとワイルスピンォーの存在と構造をどのように決定するか？
• RQ2 クリフォード代数がポincare代数の超対称的拡張を生成する正確な代数的メカニズムは何か？
• RQ3 4次元のN=8超対称性と10次元のタイプIIA/Bスーパー重力理論は、11次元スーパー重力理論からの次元削減によってどのように生じるか？
• RQ4 超対称的理論におけるスーパマルチプレットが、なぜボソン的自由度とフェルミオン的自由度を等数含むのか？
• RQ5 クリフォード代数の行列表現は、4次元、10次元、11次元におけるスーパマルチプレットの構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 11次元のクリフォード代数 C_{1,10} は11次元スーパー重力理論の代数的基盤を提供し、16次元のスピンォー表現がスーパマルチプレットの基礎をなす。
• 4次元では、N=8超対称性マルチプレットに1つの重力子、28本のベクトル、56本のスピンォー、35個のスカラーが含まれ、ボソン的自由度とフェルミオン的自由度が等数含まれる。
• 11次元のスーパマルチプレットの次元削減により4次元のN=8スーパー重力マルチプレットが得られ、場の分解がSpin(9)群の表現内容と一致する。
• 10次元のタイプIIAおよびIIBスーパマルチプレットは、11次元理論からのコンパクト化によって導かれる。IIB理論には2つの左巻きスピンォーと2つの自己双対でない4形式が含まれる。
• 11次元スーパマルチプレットは、Spin(2)×Spin(7)の下で1つの重力子、7本のベクトル、28個のスカラー、8本の重力フェルミオン、58個のスピンォーに分解され、次元削減の整合性が確認される。
• メジャナラスピンォーとワイルスピンォーの存在は次元を8で割った剰余によって決まり、ワイルスピンォーは偶数次元でのみ存在し、メジャナラスピンォーはクリフォード代数が実表現を許す次元にのみ存在する。