[論文レビュー] Clifford Algebroids and Nonholonomic Einstein--Dirac Structures

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2005

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非ホロノミー的多様体と非線形接続、リー代数準束対称性を有する幾何的枠組みとしてクリフォード代数束を導入し、一般化されたフィンスラー、ラグランジュ、リーマン＝カルタン空間における一般化された非対角計量を伴うスピン場、ディラック作用素、および物理的場方程式（スカラー場、プローカ、重力子、ゲージ）の定式化を可能にする。主な貢献は、非対角計量を伴う非ホロノミー的重力の統一的微分幾何的アプローチであり、余次元を縮約しない高次元を含む。

ABSTRACT

We propose a new framework for constructing geometric and physical models on nonholonomic manifolds provided both with Clifford – Lie algebroid symmetry and nonlinear connection structure. Explicit parametrizations of generic off–diagonal metrics and linear and nonlinear connections define different types of Finsler, Lagrange and/or Riemann–Cartan spaces. A generalization to spinor fields and Dirac operators on nonholonomic manifolds motivates the theory of Clifford algebroids defined as Clifford bundles, in general, enabled with nonintegrable distributions defining the nonlinear connection. In this work, we elaborate the algebroid spinor differential geometry and formulate the (scalar, Proca, graviton, spinor and gauge) field equations on Lie algebroids. The paper communicates new developments in geometrical formulation of physical theories and this approach is grounded on a number of previous examples when exact solutions with generic off– diagonal metrics and generalized symmetries in modern gravity define nonholonomic spacetime manifolds with uncompactified extra dimensions.

研究の動機と目的

• 非ホロノミー的多様体に内在する非線形接続およびクリフォード–リー代数準束構造を有する物理理論の幾何的枠組みの構築を目的とする。
• 一般化された非対角計量を有する非ホロノミー的空間へのスピン場およびディラック作用素形式の一般化を目的とする。
• 一般化重力の文脈において、リー代数準束上での一貫性のある場方程式（スカラー場、プローカ、重力子、ゲージ、スピン場）の定式化を目的とする。
• 非ホロノミー的構造を用いて、余次元を縮約しない高次元を有する時空の微分幾何的基礎を提供することを目的とする。
• 非可積分分布および非線形接続成分を物理的場理論に組み込むために、古典的幾何的手法の拡張を目的とする。

提案手法

• 非可積分な非線形接続構造を備えたリー代数準束上に、クリフォード代数束を構築する。
• 一般化された非対角計量および線形／非線形接続の明示的パラメータ化を用いて、フィンスラー、ラグランジュ、リーマン＝カルタン幾何をモデル化する。
• クリフォード代数束枠組みから誘導されるスピン構造を介して、非ホロノミー的多様体上でのスピン場およびディラック作用素を定義する。
• 非ホロノミー的設定に一般化されたアインシュタイン＝ディラック型およびヤン＝ミルズ型方程式を用いて、リー代数準束上での場方程式を導出する。
• 非線形接続形式を用いて、余次元を縮約しない高次元を有する状況においても幾何的整合性を保つ。
• リー代数準束の代数的および微分的構造を活用して、非ホロノミー的時空における対称性および保存則の一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形接続およびリー代数準束対称性を有する非ホロノミー的多様体上に、クリフォード代数束をどのように定義できるか？
• RQ2 非可積分分布および一般化された非対角計量が存在する状況において、スピン場およびディラック作用素の幾何的定式化はどのように行われるか？
• RQ3 非ホロノミー的時空におけるリー代数準束上での物理的場方程式（スカラー場、プローカ、重力子、ゲージ、スピン場）はどのように一般化されるか？
• RQ4 非線形接続構造は、余次元を縮約しない高次元を有する重力の整合的モデルをどのように可能にするか？
• RQ5 一般化された非対角計量の使用が、非ホロノミー的多様体上での場理論の幾何的および物理的整合性に与える影響は何か？

主な発見

• クリフォード代数束は、非線形接続およびリー代数準束対称性を有する非ホロノミー的多様体のための整合的幾何的枠組みを提供する。
• この形式は、クリフォードバンドル上の誘導スピン構造を介して、非ホロノミー的空間上でのスピン場およびディラック作用素の構成を可能にする。
• スカラー場、プローカ、重力子、ゲージ、スピン場の場方程式は、非ホロノミー的多様体上のリー代数準束構造へと成功裏に一般化される。
• 一般化された非対角計量および非線形接続は、フィンスラー、ラグランジュ、リーマン＝カルタン空間の統一的枠組み内での幾何的モデル化を可能にする。
• 非ホロノミー的構造を通じて幾何的整合性を保つことにより、余次元を縮約しない高次元を有する物理的モデルの支持が可能になる。
• 非線形接続に埋め込まれた非可積分分布は、一般化重力モデルにおける場方程式の整合性を維持するために不可欠である。