[論文レビュー] Clifford systems in octonionic geometry

Maurizio Parton, Paolo Piccinni+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間上の不変性のクラッファード系の帰納的構成を提示し、オクタニオン幾何学およびリーマン多様体へ理論を拡張する。ランク16までにおけるクラッファード系の存在と分類を確立し、EIII、EVI、EVIIIなどの対称空間におけるそれらの役割を特定するとともに、偶数クラッファード構造とスピン群を介してホロノミー構造および不変微分形式と関連付ける。

ABSTRACT

We give an inductive construction for irreducible Clifford systems on Euclidean vector spaces. We then discuss how this notion can be adapted to Riemannian manifolds, and outline some developments in octonionic geometry.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間上の不変性のクラッファード系を体系的に帰納的に構成するための方法を開発すること。
• 特に例外的ホロノミーを有する対称空間に焦点を当て、クラッファード系の概念をリーマン多様体へ拡張すること。
• 特に例外的リー群F4、E6、E7、E8と関連して、オクタニオン幾何学におけるクラッファード系の役割を調査すること。
• EIII、EVI、EVIIIなどの対称空間における偶数クラッファード構造の分類を行い、それらを不変微分形式およびコホモロジーと関連付けること。
• ケーラー形式、クaternionケーラー構造、および球面とその商空間におけるSpin(9)作用といった幾何的構造と理論を結びつけること。

提案手法

• クラッファード代数の表現論を用いて、不変性のクラッファード系が存在する次元N = 2δ(m)を特徴付ける。
• テンソル積と直交分解を用いて、低ランク系を拡張することで、新たなクラッファード系を帰納的に構成する。
• SO(N)における対合を介して対称空間上の偶数クラッファード構造を定義し、それらをSpin(9)、Spin(10)·U(1)、Spin(16)+などのホロノミー群に関連付ける。
• クラッファード生成子から得られる反対称行列の不変多項式を用いて、グローバルな微分形式を生成する。
• 構成法を対称空間EIII、EVI、EVIIIに適用し、それらの偶数クラッファード構造および関連するケーラー形式を特定する。
• Spin(9)構造およびHurwitz-Radon公式を介して、球面上の接ベクトル場系と結果を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間上の不変性のクラッファード系をどのように体系的に帰納的に構成できるか？
• RQ2 ランク16までにおけるクラッファード系の分類は何か？また、Hurwitz-Radon関数におけるδ(m)との関係は？
• RQ3 EIII、EVI、EVIIIなどの対称空間における偶数クラッファード構造は、直交群における対合からどのように生じるか？
• RQ4 偶数クラッファード構造の生成子が不変微分形式およびコホモロジー類を生成する役割は何か？
• RQ5 これらの構造は、特に最大正規直交接ベクトル場の文脈において、球面とその商空間の幾何とどのように関連するか？

主な発見

• 不変性のクラッファード系がR^N上に存在するための必要十分条件はN = 2δ(m)であり、δ(m)はHurwitz-Radon関数で与えられる。mが4で割り切れないとき、同値を除いて一意に定まる。
• m ≡ 0 mod 4のとき、不変性のクラッファード系は同値類として2つ存在し、P0P1…Pmの積のトレースが±2δ(m)で区別される。
• 対称空間EIIIはランク9の本質的偶数クラッファード構造を有し、SO(16)における10次元の対合系によって実現される。
• 対称空間EVIとEVIIIはそれぞれランク10および16の偶数クラッファード構造を有し、それらに伴うケーラー形式ψ^Eおよびψ^Fが生成子から導かれる。
• EVIの有理コホモロジーは次数4、8、12の類によって生成され、τ4(ψ^E)およびτ6(ψ^E)によって表現可能である。EVIIIのコホモロジーは次数8、12、16、20の類によって生成される。
• 球面S^31、S^63、S^127上における最大正規直交接ベクトル場の構成は、それぞれR^32、R^64、R^128上におけるランク10、12、16の偶数クラッファード構造に対応し、それらはSpin(9)、Spin(10)·U(1)、Spin(16)+構造を介して実現される。