[論文レビュー] Cliques and a new measure of clustering: with application to U.S. domestic airlines

Steve Lawford, Yll Mehmeti|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 90被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、標準的なクラスタリング係数 C(3) を b 個のノードの高次集団（最大 b=5）に拡張する新しい一般化されたクラスタリング係数 C(b) を導入する。解析的公式を用いて効率的な計算が可能であり、米国国内の航空ネットワークにおいて、低次クラスタリングを補正した後でも、高次クラスタリングが低～中程度に存在することが示された。これは、従来の3ノードクラスタリングがネットワーク構造を完全に捉えていない可能性を示唆している。

ABSTRACT

We propose a higher-order generalization of the well-known overall clustering coefficient for triples $C(3)$ to any number of nodes. We give analytic formulae for the special cases of three, four, and five nodes and show that they have very fast runtime performance for small graphs. We discuss some theoretical properties and limitations of the new measure, and use it to provide insight into dynamic changes in the structure of U.S. airline networks.

研究の動機と目的

• 標準的な C(3) を b 個のノードに拡張する一般化されたクラスタリング係数 C(b) を開発し、高次ネットワーク構造の検出を可能にする。
• C(3)、C(4)、C(5) の高速かつ解析的な計算手法を提供し、密な小規模グラフにおいて、ネイティブなアルゴリズムよりも最大2,000倍速くなる。
• ランダムグラフモデル（Erdős-Rényi、スモールワールド、ラollyポップ）における C(b) の理論的性質を調査し、YBL などの既存測定法と比較する。
• 下位のクラスタリング効果を補正した上で、動的データを用いて実世界の米国国内航空ネットワークにおける高次クラスタリングを実証的に評価する。
• 高次クラスタリングが、従来の3ノードクラスタリングを超えた複雑ネットワークの意味のある構造的特徴であるかどうかを評価する。

提案手法

• C(b) を、ネットワーク内における接続された b ノード部分グラフ（クリーク）の相対頻度として定義する一般化されたクラスタリング係数 C(b) を提案する。
• 組合せ的数え上げを用いて C(3)、C(4)、C(5) の解析的公式を導出し、O(1) または O(n) の計算量で実行可能にし、ネストされたループを回避する。
• 実航空ネットワークおよびシミュレーテッドランダムグラフ（Erdős-Rényi、スモールワールド、ラollyポップ）に対して、解析的アルゴリズムを適用して C(b) を計算する。
• Yin-Benson-Leskovec（YBL）クラスタリング測定法と比較し、期待値およびネットワーク密度やリワイヤリング確率に対する感受性の観点から評価する。
• C(3)、C(4)、C(5) のランダム化ベンチマークを生成するため、サイズと密度が一致する Erdős-Rényi ランダムグラフを1,000回繰り返し生成する。
• 2013年第四四半期の米国国内航空ネットワークの動的データを用いて、C(b) の時間的安定性と、b 間での相関を評価し、下位のクラスタリング効果を補正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C(3) を超える b > 3 に対して、三角形を越えた高次ネットワーククラスタリングを捉えることができる一般化されたクラスタリング係数 C(b) を定義できるか？
• RQ2 本稿で提案する解析的手法の計算効率は、小規模で密なグラフにおけるネイティブな列挙法と比べてどの程度優れているか？
• RQ3 Erdős-Rényi、スモールワールド、ラollyポップなどのランダムグラフモデルにおける C(b) の理論的性質は、既存の測定法と比較してどのように振る舞うか？
• RQ4 下位のクラスタリングを補正した後、実際の米国国内航空ネットワークにおける高次クラスタリングはどの程度存在するか？
• RQ5 実世界のネットワークにおいて、C(b) の値（例：C(3)、C(4)、C(5)）はどの程度相関しているか？ これはネットワーク構造にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 密な小規模グラフにおいて、C(3)、C(4)、C(5) の解析的実装は、ネイティブなネストループアルゴリズムよりも最大2,000倍速い。
• C(3)、C(4)、C(5) の値は、ネットワーク全体で強く相関しており、ネットワーク密度とも正の相関を示す。
• 下位クラスタリングを補正した後、米国航空ネットワークにおける高次クラスタリング（C(4)、C(5)）は低～中程度に存在することが判明した。
• Yin-Benson-Leskovec のクラスタリング係数 C3 と C4 は、すべての航空会社において、ランダムグラフの対応する値よりも通常高かった。これは、実際の高次クラスタリングが存在することを示している。
• Alaska Airlines（AS）では、多くの Erdős-Rényi 実現において4クリークが存在しないため C(4) が定義されないが、C(b) はすべての連結グラフで定義される。
• Yin-Benson-Leskovec の統計量が定義される場合、C(3) ≥ C(4) および C(4) ≥ C(5) が観察され、b に応じたクラスタリング強度の一貫した階層構造が示された。