[論文レビュー] Cloaking by anomalous localized resonance for linear elasticity on a coated structure

Kazunori Ando, Hyeonbae Kang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正のラメ定数を有するコアと負のラメ定数を有するシェルを有する被覆円形構造を用いて、線形弾性における異常局在共鳴（CALR）のクラッキングを検討する。二つの同心円上でのノイマン＝ポアンカーリ（NP）作用素の固有値を分析することにより、CALRが発生するのは、ダイポール源が幾何学的および材料パラメータに依存する臨界半径内にある場合に限ることを証明する。$ z(c) = k_0 $ および $ z(c) = -k_0 $ の場合にそれぞれ異なる臨界半径が得られ、固有値収束の漸近解析を通じて導出される。

ABSTRACT

We investigate anomalous localized resonance on the circular coated structure and cloaking related to it in the context of elasto-static systems. The structure consists of the circular core with constant Lamé parameters and the circular shell of negative Lamé parameters proportional to those of the core. We show that the eigenvalues of the Neumann-Poincaré operator corresponding to the structure converges to certain non-zero numbers determined by Lamé parameters and derive precise asymptotics of the convergence. We then show with estimates that cloaking by anomalous localized resonance takes place if and only if the dipole type source lies inside critical radii determined by the radii of the core and the shell.

研究の動機と目的

• シェルに負のラメ定数を有する被覆円形構造における線形弾性理論における異常局在共鳴（CALR）が発生するかどうかを調査すること。
• CALRが生じるスペクトル的条件を特定すること。特に、二つの同心境界上で定義されたノイマン＝ポアンカーリ（NP）作用素の固有値に注目する。
• 被覆構造による摂動下で、NP固有値が $ \pm k_0 $ に収束する明確な漸近的挙動を導出すること。ここで $ k_0 = \mu / (2(\lambda + 2\mu)) $ である。
• ダイポール源の位置がコアおよびシェルの半径と相対的に配置されている場合の、CALRのための臨界半径の存在を確立すること。
• 材料パrameter $ c $ が $ z(c) = \pm k_0 $ を満たす場合にのみCALRが発生することを示し、各場合に異なる臨界半径が得られることを示すこと。

提案手法

• コアが正のラメ定数 $ (\lambda, \mu) $ を有する円形コアとし、その周囲に負のラメ定数 $ (c+i\delta)(\lambda, \mu) $ を有する同心円シェルを持つ被覆構造をモデル化する。ここで $ c < 0 $ かつ $ \delta > 0 $ である。
• シェルの境界上で定義されたノイマン＝ポアンカーリ（NP）作用素を用い、内積空間 $ H^{-1/2} $ を用い、単層ポテンシャル理論を用いてブロック行列として表現する。
• 摂動理論を適用し、$ \delta \to 0 $ の下でのNP固有値の漸近的挙動を分析し、$ \pm k_0 $ に収束することを示す。ここで $ k_0 = \mu / (2(\lambda + 2\mu)) $ である。
• 複素ポテンシャル表現と変位場のフーリエモード分解を用いて、固有値の漸近展開を導出する。
• $ r_e $, $ r_i $, および $ |\mathbf{z}| $ における級数展開を用いて、単層ポテンシャルの境界を評価することで、大距離における弾性場 $ \mathbf{u}^\delta $ の挙動を推定する。
• 変位ベクトルの複素表現と基本解 $ \Gamma(\mathbf{x}-\mathbf{z}) $ を用い、境界 $ \Gamma_e $ 上での法線微分を計算することで、係数 $ g_{n,j} $ の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のラメ定数を有するシェルを持つ被覆円形構造における線形弾性理論において、異常局在共鳴（CALR）が発生するか？
• RQ2 散乱係数 $ \delta \to 0 $ の下で、二層構造のNP作用素固有値の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 材料パrameter $ c $ が満たすべき条件は何か？また、クラッキングのための臨界半径は $ c $ にどのように依存するか？
• RQ4 $ z(c) = k_0 $ および $ z(c) = -k_0 $ の場合の臨界半径が異なるのはなぜか？これは $ \pm k_0 $ の近傍におけるスペクトル挙動の相違をどのように反映するか？
• RQ5 NP固有値が $ \pm k_0 $ に漸近的に収束する様子を定量的に評価できるか？また、この収束様式が弾性エネルギー $ E^\delta $ の発散にどのように寄与するか？

主な発見

• 被覆構造上でのノイマン＝ポアンカーリ（NP）作用素の固有値は $ \delta \to 0 $ の下で $ \pm k_0 $ に収束し、摂動理論を用いて明確な漸近的挙動が導出された。
• CALRは、ダイポール源が臨界半径内にある場合にのみ発生する。$ z(c) = k_0 $ の場合の臨界半径は $ r_* = r_e^2 / r_i $、$ z(c) = -k_0 $ の場合の臨界半径は $ r_{**} = \sqrt{r_e^3 / r_i} $ であり、異なるスペクトル集積率に起因して異なる半径が得られる。
• 源が臨界半径内にある場合、弾性エネルギー $ E^\delta = \delta E(\mathbf{u}^\delta) $ は $ \delta \to 0 $ の下で発散し、CALRが確認される。
• $ |\mathbf{x}| > r_e^3 / r_i^2 $ の領域では、$ z(c) = k_0 $ の場合に $ \mathbf{u}^\delta(\mathbf{x}) $ は $ \delta \to 0 $ の下でも一様に有界であり、場の集中が構造付近に限定されることを示す。
• $ |\mathbf{x}| > r_e^2 / r_i $ の領域では、$ z(c) = -k_0 $ の場合に $ \mathbf{u}^\delta(\mathbf{x}) $ は $ \delta \to 0 $ の下でも有界であり、臨界半径 $ r_{**} $ と整合的であり、クラッキング領域内でのみ場の局在が観察されることを示す。
• 臨界半径は単層ポテンシャルの推定から導出され、場の収束速度が $ \pm k_0 $ におけるスペクトル集積に依存しており、固有値展開における異なる減衰率により非対称であることが示された。