[論文レビュー] Closed formula for Wilson loops for $SU(N)$ Quantum Yang-Mills Theory in two dimensions

Abhay Ashtekar, Jurek Lewandowski+3 more|CERN Bulletin|May 18, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、2次元 $SU(N)$ および $U(1)$ ヤン・ミルズ理論におけるユークリッド・ウィルソン線積分関数の閉形式表現を、$ield{R}^1 imes ield{R}^1$ および $ield{R}^1 imes S^1$ のトポロジーにおいて、すべての区分的解析的ループを扱える厳密でゲージ不変な枠組みを用いて提示する。主な結果は、面積則を一般化し、二次面積依存性を示す特性関数の正確な公式であり、量子測度における非自明な相互作用を示している。

ABSTRACT

A closed expression of the Euclidean Wilson-loop functionals is derived for pure Yang-Mills continuum theories with gauge groups $SU(N)$ and $U(1)$ and space-time topologies $\Rl^1 imes\Rl^1$ and $\Rl^1 imes S^1$. (For the $U(1)$ theory, we also consider the $S^1 imes S^1$ topology.) The treatment is rigorous, manifestly gauge invariant, manifestly invariant under area preserving diffeomorphisms and handles all (piecewise analytic) loops in one stroke. Equivalence between the resulting Euclidean theory and and the Hamiltonian framework is then established. Finally, an extension of the Osterwalder-Schrader axioms for gauge theories is proposed. These axioms are satisfied for the present model.

研究の動機と目的

• 2次元ユークリッド $SU(N)$ および $U(1)$ ヤン・ミルズ理論におけるウィルソン線積分関数の閉形式表現を導出することにより、長年の文献的空白を解消すること。
• すべての区分的解析的ループに対して、厳密で明示的にゲージ不変かつ面積保存微分同相変換不変な枠組みを確立すること。
• 2次元ヤン・ミルズ理論におけるユークリッド経路積分形式と正準ハミルトニアン枠組みの等価性を示すこと。
• ゲージ理論にオスターワルダー＝シュライダー公理を拡張し、本モデルにおける満たしを確認すること。

提案手法

• 接続の空間上で測度論的アプローチを用いて、ウィルソン線積分関数の閉形式表現を導出する。
• 群変数におけるハール測度を用いた格子正則化を実施し、その後連続極限に移行して関数積分を得る。
• $U(1)$ 場のトーラス上でのガウス則制約を扱うために、ディリクレの公式 $\delta(g,1) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g^n$ を用いる。
• 修正ベッセル関数 $I_n(\beta)$ の漸近的解析を $\beta \to \infty$ の極限において行い、連続的挙動を抽出する。
• 特性関数 $\chi(\alpha)$ を $n$ に関する和の比として構成し、二次面積依存性を有する完全な量子測度を捉える。
• 状態および観測量の厳密な写像を用いて、ユークリッド経路積分と正準ハミルトニアン形式の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換空間トポロジーおよびコンパクト空間トポロジーを持つ2次元 $SU(N)$ ヤン・ミルズ理論において、ウィルソン線積分関数の閉形式表現を導出可能か？
• RQ2 関数積分を厳密にゲージ不変かつ面積保存微分同相変換不変に保つ方法は何か？
• RQ3 2次元ヤン・ミルズ理論におけるユークリッド経路積分と正準ハミルトニアン形式の正確な関係は何か？
• RQ4 拡張されたオスターワルダー＝シュライダー公理枠組みは、この量子ゲージ理論モデルにおいて成り立つか？
• RQ5 $U(1)$ 理論のトーラス上では、なぜウィルソン線積分関数が面積に対して線形ではなく二次的依存を示すのか？

主な発見

• トーラス上 $U(1)$ の特性関数は、正確に $\chi(\alpha) = \delta_{l_x,0}\delta_{l_y,0} \frac{\sum_n \exp\left(-\frac{g_0^2}{2} \left(n + \frac{\sum A_I k_I}{V}\right)^2 V\right)}{\sum_n \exp\left(-\frac{g_0^2}{2} n^2 V\right)} \exp\left(-\frac{g_0^2}{2} \left[\sum A_I k_I^2 - \frac{1}{V} \left(\sum A_I k_I\right)^2 \right]\right)$ で与えられる。
• ウィルソン線積分関数は、面積に対して二次的依存を示し、標準の面積則を破り、測度における非自明な量子相互作用を示している。
• 複数のループが存在する場合、関数はループ補集合に関して不変であり、コンパクトケースにおける位相的双対性を反映している。
• 導出された関数は拡張されたオスターワルダー＝シュ Rai デル公理を満たしており、量子場理論的測度としての一貫性が確認された。
• ユークリッド経路積分と正準ハミルトニアン枠組みの等価性は、$\field{R}^1 \times \field{R}^1$ および $\field{R}^1 \times S^1$ の両ケースにおいて厳密に確立された。
• 従来の非重複ループに対する結果を一般化し、2次元ヤン・ミルズ理論におけるすべての区分的解析的ループを統一的に取り扱える。