[論文レビュー] Closed graph theorems for bornological spaces

Federico Bambozzi|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、完備かつ非自明に賦値づけられた体上の生来的ベクトル空間について、アーベル的および非アーベル的両ケースを含む統一された閉グラフ定理を確立する。ボルノロジカル・ネットおよびボルノロジカル・ウェブを導入することで、ポッパおよびド・ヴェイルの定理を一般化し、生来的閉グラフをもつ線形写像が有界または連続であることを証明し、それらの結果を用いて、ダガー・アフィノイド代数間のすべての代数的同型写像が有界であることを示す。

ABSTRACT

The aim of this paper is that of discussing Closed Graph Theorems for bornological vector spaces in a way which is accessible to non-experts. We will see how to easily adapt classical arguments of functional analysis over $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$ to deduce Closed Graph Theorems for bornological vector spaces over any complete, non-trivially valued field, hence encompassing the non-Archimedean case too. We will end this survey by discussing some applications. In particular, we will prove de Wilde's Theorem for non-Archimedean locally convex spaces and then deduce some results about the automatic boundedness of algebra morphisms for a class of bornological algebras of interest in analytic geometry, both Archimedean (complex analytic geometry) and non-Archimedean.

研究の動機と目的

• 任意の完備かつ非自明に賦値づけられた体上の生来的ベクトル空間における閉グラフ定理の自己完結的かつアクセス可能な取り扱いを提供すること。
• 文献におけるギャップを埋めるために、アーベル的および非アーベル的生来的ベクトル空間理論を統一すること。
• 古典的結果（例えばポッパおよびド・ヴェイルの定理）を、追加の仮定を最小限に抑えて非アーベル的設定に一般化すること。
• 定理を用いて、特にダガー・アフィノイド代数において、代数的同型写像の自動的有界性を証明すること。
• 非アーベル的解析幾何学およびグローバル解析における将来的な応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 完備かつ非自明に賦値づけられた体、特にアーベル的および非アーベル的両ケースを含む、生来的ベクトル空間の理論を導入し発展させる。
• 生来的ベクトル空間における収束および有界性構造の一般化のための、生来的ネットおよび生来的ウェブを定義する。
• 生来的ネットを用いて、分離凸生来的ベクトル空間に対する一般化された閉グラフ定理を証明し、閉グラフが有界性を意味することを示す。
• 生来的ウェブの概念を用いて、ウェッブ付き生来的ベクトル空間への結果の拡張を行い、Gachの定理を統一的枠組みで回復する。
• 非アーベル的設定における連続性および有界性を、特に球的完備な底体および極的ウェッブ付き空間の下で、定理を適用して導出する。
• 閉グラフ定理を用いて、ダガー・アフィノイド代数間のすべての代数的同型写像が有界であることを証明し、帰納的極限および生来的イデアルの構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数解析学における古典的閉グラフ定理は、非アーベル的体上の生来的ベクトル空間に一般化可能か？
• RQ2 生来的ネットおよび生来的ウェブは、アーベル的および非アーベル的両設定における閉グラフ定理の取り扱いをどのように統一できるか？
• RQ3 非アーベル的局所凸空間において、生来的に閉グラフをもつ線形写像が、いつ連続または有界のまま保たれるか？
• RQ4 ド・ヴェイルの定理は非アーベル的底体に拡張可能か？さらに必要な仮定は何か？
• RQ5 ダガー・アフィノイド代数間の代数的同型写像は自動的に有界であるか？また、これは生来的閉グラフ定理から導けるか？

主な発見

• 本稿は、分離凸生来的ベクトル空間に対する統一された閉グラフ定理を確立した：E が完備で F に生来的ネットがあるとき、生来的に閉グラフをもつ任意の線形写像は有界である。
• 生来的ネットを用いることで、ポッパの結果が、非アーベル的を含むすべての完備かつ非自明に賦値づけられた体に一般化された。
• ウェッブ付き生来的ベクトル空間に対する第二の閉グラフ定理が証明され、Gachの定理が非アーベル的設定へ一般化された。
• 底体が球的完備で、終域空間が極的ウェッブ付きであるという仮定の下で、非アーベル的版のド・ヴェイルの定理が示された。
• すべての理想が生来的に閉じていることと、閉グラフ定理の結果から、すべての strict K-dagger affine 代数間の代数的同型写像が有界であることが示された。
• 直接極限を用いることで、非厳密なダガー・アフィノイド代数に対しても結果が拡張され、すべての同型写像が有界であることが確認された。