[論文レビュー] Closed manifolds admitting no special generic maps whose codimensions are negative and their cohomology rings

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特徴的な写像が負のcodimensionのユークリッド空間へ存在しない条件を、コhomology環構造を主要な不変量として用いて確立する。特定のコhomological条件—特に有界な次数を持つクラスの非自明なカップ積の存在—を満たす多様体は、低次元のユークリッド空間へ特徴的な写像をもたないことが示され、エキゾチックな球面や実射影空間に関する既知の結果が、より広い多様体のクラスへと一般化される。

ABSTRACT

Special generic maps are higher dimensional versions of Morse functions with exactly two singular points, characterizing spheres topologically except $4$-dimensional cases: in these cases standard spheres are characterized. Canonical projections of unit spheres are special generic. In suitable cases, it is easy to construct special generic maps on manifolds represented as connected sums of products of spheres for example. It is an interesting fact that these maps restrict the topologies and the differentiable structures admitting them strictly in various cases. For example, exotic spheres, which are not diffeomorphic to standard spheres, admit no special generic map into some Euclidean spaces in considerable cases. In general, it is difficult to find (families of) manifolds admitting no such maps of suitable classes. The present paper concerns a new result on this work where key objects are products of cohomology classes of the manifolds. We can see that manifolds such as closed symplectic manifolds and real projective spaces admit no special generic maps into any connected nin-closed manifold in considerable cases.

研究の動機と目的

• 閉多様体上での特徴的な写像の存在に対する位相的および微分的障害を同定すること。
• 特に非自明なカップ積が関与するコhomology環構造が、このような写像の存在をどのように制限するかを調査すること。
• エキゾチックな球面や実射影空間に関する既知の結果を、より広いクラスの多様体へ一般化すること。
• 特徴的な写像の非存在を示すコhomological条​​件 $\mathrm{CohP}_{A,m,n_0}^{}$ を確立すること。
• 連結和と積を用いた新しい特徴的な写像をもたない多様体の族の構成フレームワークを提供すること。

提案手法

• コhomological条​​件 $\mathrm{CohP}_{A,m,n_0}$ を導入し、$H^*(X;A)$ 内の次数が有界で、総次数が少なくとも $n_0$ に達するコhomology類の列が存在し、そのカップ積が非自明であることを要請する。
• $n < m$ の場合に $\mathbb{R}^n$ へ特徴的な写像が存在しないことを、この条件を用いて検出する。
• 多様体の連結和と積の構造を用いて、特徴的な写像の非存在を伝播する。
• ディスクと多様体の積の埋め込み技術を用い、条件を満たす場合に特徴的な写像を構成する。
• エキゾチックな球面や実射影空間に関する既知の結果を、コhomological障害の基本事例として用いる。
• 微分位相の道具（たとえば、折りたたみ写像や特徴的な写像）と代数的位相の手法（カップ積構造）を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなコhomological条​​件のもとで、閉多様体は負のcodimensionのユークリッド空間へ特徴的な写像をもたないか？
• RQ2 閉シンプレクティック多様体および実射影空間のコhomology環は、特徴的な写像の存在をどのように妨げるか？
• RQ3 エキゾチックな球面からより広いクラスの多様体へ、コhomological不変量を用いて特徴的な写像の非存在を拡張できるか？
• RQ4 多様体の連結和と積は、特徴的な写像の存在を保存するか、あるいは破壊するか、それぞれどのような役割を果たすか？
• RQ5 $\mathrm{CohP}_{A,m,n_0}$ というコhomological条​​件が、特徴的な写像に対する完全な障害としてどの程度有効に機能するか？

主な発見

• コhomological条​​件 $\mathrm{CohP}_{A,m,n_0}$ を満たす閉多様体は、$n < m$ のとき $\mathbb{R}^n$ へ特徴的な写像をもたない。
• 次元7の実射影空間および $\mathbb{R}P^7$ と同相なホモロジーをもつ特定の閉多様体は、$n = 1,2,3,4,5,6$ のとき $\mathbb{R}^n$ へ特徴的な写像をもたない。
• $m=7$ のとき、28種類のうち14種類のエキゾチック7次元球面は、$\mathbb{R}^{m-3}, \mathbb{R}^{m-2}, \mathbb{R}^{m-1}$ へ特徴的な写像をもたない。
• 条件 $\mathrm{Sp}_{\geq n_0}$ — すべての $n_0 \leq n < m$ に対して $\mathbb{R}^n$ へ特徴的な写像が存在すること — は、特定の連結和と積に関して保存される。
• $M'$ が $\mathrm{Sp}_{\geq n_0'}$ を満たし、$F$ がコンパクトなリー群またはチューブ型近傍の境界であるとき、多様体の積 $M' \times F$ は、次元制約の下で $\mathbb{R}^{n_0 + k}$ へ特徴的な写像をもつことがある。
• カップ積の次数制約が維持される限り、コhomological障害 $\mathrm{CohP}_{A,m,n_0}$ は積と連結和に関して保存される。