[論文レビュー] Notes on explicit smooth maps on 7-dimensional manifolds into the 4-dimensional Euclidean space

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、7次元の閉多様体から4次元のユークリッド空間への明示的な折り畝写像（fold map）を構成し、リーブ空間とコhomology環を用いてその位相的・幾何的性質を分析する。特定の7次元多様体、特に異種球面を含むものについて、R⁴への特別な一般写像を許さないことが確立され、折り畝写像特異点の構造とそれらがコhomology群およびホモロジー群に誘導する写像を通じて、新たな代数的位相的不変量が提供される。

ABSTRACT

A fold map is a smooth map at each singular point of which it is represented as the product map of a Morse function and the identity map on an open ball. A special generic map is a fold map such that the Morse function can be taken as a natural height function on an unit disk. The class of special generic maps includes a Morse function with exactly two singular points on a closed manifold, characterizing a sphere topologically (except 4-dimensional cases) as the Reeb's theorem shows, and canonical projections of unit spheres. It has been known that so-called exotic spheres do not admit special generic maps into Euclidean spaces whose dimensions are sufficiently high and smaller than the dimensions of the spheres. Exotic 7-dimensional homotopy spheres do not admit special generic maps into the 4-dimensional Euclidean space for example. We can easily obtain special generic maps on fundamental manifolds such as ones represented as connected sums of products of two standard spheres and in considerable cases, smooth manifolds resembling topologically them and different from them do not admit special generic maps. These interesting results are due to studies of Saeki, Sakuma and Wrazidlo since the 1990s. In the present paper, we present new results on explicit smooth maps including fold maps on 7-dimensional manifolds into the 4-dimensional Euclidean space and meanings in algebraic topology and differential topology of manifolds. Moreover, the author obtained related results before motivated by the studies before and they are reviewed in the presentation of the new results. We also present new discussions and results related to the results for 7-dimensional manifolds and maps on them for fold maps between manifolds of general dimensions.

研究の動機と目的

• 7次元の閉多様体から4次元のユークリッド空間への明示的な滑らかな折り畝写像を構成すること。
• 異種7次元ホモトピー球面がR⁴への特別な一般写像を許さない理由を、それらの位相的障害として解明すること。
• このような折り畝写像を許す多様体の代数的位相的性質を分析すること、特にコhomology環とホモロジー群に注目すること。
• 定義域の次元が終域に対して十分に高くない場合の、折り畝写像のリーブ空間への拡張を試みること。
• 特異点集合が埋め込まれており、標準球面をファイバーとする折り畝写像に起因するコhomologyおよびホモロジー群への誘導写像を体系的に研究すること。

提案手法

• インデックスが0および1である局所モデルに基づき、一般次元の多様体間の折り畝写像を構成する。標準的な折り畝写像形式：$(x_1,\dots,x_m) \mapsto (x_1,\dots,x_{n-1}, \sum_{k=n}^{m-i} x_k^2 - \sum_{k=m-i+1}^{m} x_k^2)$ を用いる。
• 正則ファイバーが標準球面の直和であり、特異点集合の制限が埋め込みであるような折り畝写像に対して、リーブ空間の構成を適用する。
• 特徴的類のプッシュバックおよびカップ積を介して、コhomology群およびホモロジー群への誘導準同型を分析する。
• リーブ空間の構造を用いて、定義域多様体のコhomology環と折り畝写像の像および特異点集合との関係を結びつける。
• 特異性理論およびモース理論の既知の結果を応用し、特別な一般ケースを超えた折り畝写像の分類を拡張する。
• カップ積関係およびポincare双対性を用いた代数的道具を用い、このような写像を許す7次元多様体のコhomology環に課される制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの7次元多様体がR⁴への折り畝写像を許すのか、そしてそのような写像を妨げる位相的障害は何か？
• RQ2 なぜ異種7次元ホモトピー球面はR⁴への特別な一般写像を許さないのか、その理由と滑らか構造との関係は何か？
• RQ3 7次元多様体のコhomology環およびホモロジー群は、折り畝写像下でのリーブ空間の構造とどのように関係するのか？
• RQ4 特異点集合が埋め込まれており、標準球面をファイバーとする折り畝写像によって、どのような代数的不変量が保存されたり誘導されたりするのか？
• RQ5 定義域の次元が十分に高くない場合に、リーブ空間の構成が定義域多様体のコhomology環構造をどの程度回復できるのか？

主な発見

• 異種7次元ホモトピー球面はR⁴への特別な一般写像を許さないことが確認され、微分位相幾何学における既知の障害を裏付ける。
• 特異点集合が埋め込まれており、ファイバーが $ S^3 $ または $ S^3 \sqcup S^3 $ に微分同相であるような折り畝写像 $ f: M^7 \to \mathbb{R}^4 $ に対して、リーブ空間は顕著な位相的不変量を引き継ぐ。
• 7次元多様体 $ M $ のコhomology環は、リーブ空間からのプッシュバックのカップ積構造によって制約を受ける。特に、$ a_j^* \cdot \phi_{A,m-k}(a_j) $ のような関係が $ H^m(M;\mathbb{Z}) $ を生成する。
• 特定のカップ積が消える（例：$ a_j^* \cdot \phi_{n,m-n}((0,c)) = 0 $）ことから、折り畝写像によって誘導されるコhomology環内の非自明な関係が示唆される。
• 積 $ b_{j,n}^* \cdot \phi_{n,m-n}((b_j,0)) $ は $ H^m(M;\mathbb{Z}) $ の生成元をなしており、特定のコhomology類が特異点集合の構造と関連していることを示している。
• 写像 $ f|_{S(f)} $ は埋め込みであり、すべての特異点がインデックス0または1であるため、リーブ空間は適切に扱えるようになり、位相的性質の代数的制御が可能になる。