[論文レビュー] Closed Range for $\bar\partial$ and $\bar\partial_b$ on Bounded Hypersurfaces in Stein Manifolds

Phillip S. Harrington, Andrew Raich|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$C^3$境界をもつ Stein 多様体内の有界領域に対して、弱 $Z(q)$ と呼ばれる一般化された条件を導入し、$ar\theta$ および $ar\theta_b$ の作用素の閉じた値域を保証する。古典的な $Z(q)$ 条件および $(q-1)$-擬凸性条件を、非整数の射影固有値を許容することで緩和することで、著者らは調和 $(0,q)$-形式が消えること、$ar\theta$ が閉じた値域を持つことを証明し、擬凸領域を超えた Hö rmander の $L^2$ 理論を拡張する。

ABSTRACT

We define weak $Z(q)$, a generalization of $Z(q)$ on bounded domains $Ω$ in a Stein manifold $M^n$ that suffices to prove closed range of $\bar\partial$. Under the hypothesis of weak $Z(q)$, we also show (i) that harmonic $(0,q)$-forms are trivial and (ii) if $\partialΩ$ satisfies weak $Z(q)$ and weak $Z(n-1-q)$, then $\dbar_b$ has closed range on $(0,q)$-forms on $\partialΩ$. We provide examples to show that our condition contains examples that are excluded from $(q-1)$-pseudoconvexity and the authors' previous notion of weak $Z(q)$.

研究の動機と目的

• 非整数の射影固有値を許容するように $Z(q)$ 条件を一般化し、非擬凸領域に対しても $ar\theta$ および $ar\theta_b$ の値域が閉じることを可能にする。
• 弱 $Z(q)$ の下で調和 $(0,q)$-形式の空間が消えることを確立し、$L^2$ 可解性に不可欠な段階を達成する。
• 弱 $Z(q)$ および弱 $Z(n-1-q)$ が両方成り立つとき、境界 $ar\theta\bar\theta$ 上で $ar\theta_b$ が閉じた値域を持つことを示す。
• 弱 $Z(q)$ が成り立つが、古典的な $(q-1)$-擬凸性または以前の弱 $Z(q)$ 条件が成り立たない例を提示し、その一般性を示す。
• Shaw (2010) の手法を適応し、重み付き $L^2$ 空間を用いて $C^3$ 境界に対しても $L^2$ $ar\theta$-理論を拡張し、調和形式の消滅を証明する。

提案手法

• 射影行列の固有値を $[0,1]$ に許容することで、$Z(q)$ の緩和として弱 $Z(q)$ を定義する。
• Shaw (2010) の最近の結果を活用し、重み付き $L^2$ 空間枠組みで調和形式を除く $ar\theta u = f$ の解法を実施する。
• $C^3$ 境界に適応された部分積分および微局所解析的手法を用いて誤差項を制御する。
• 定義関数 $ ho$ とパrameter $t$ でパラメータ化されたほぼ複素構造の族を用いた局所モデルを構築し、Levi 形式のトレースの正定性をテストする。
• 形式 $(\text{Tr}\tilde{\rho} - \tilde{\rho}(\tilde{\theta}))\tilde{\theta} - i\bar\theta\theta\rho$ の正定性を検証し、局所的に弱 $Z(q)$ が成り立つことを確認する。
• 補題 6.2 を用いて、局所的な弱 $Z(q)$ を、一様に成り立つ有界領域全体に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非擬凸領域において、$Z(q)$ より弱い条件を用いて Stein 多様体内の有界領域で $ar\theta$ の値域が閉じることを示せるか？
• RQ2 一般化された $Z(q)$-型条件の下で、調和 $(0,q)$-形式が消えるか？
• RQ3 弱 $Z(q)$ は $(q-1)$-擬凸性および著者らの以前の弱 $Z(q)$ 条件よりも厳密に弱いか？
• RQ4 領域が擬凸でない場合でも、境界における $ar\theta_b$ が値域を閉じる可能性はあるか？
• RQ5 重み付き空間を用い、調和形式の消滅を示す手法を適応することで、$C^3$ 境界に対しても $L^2$ $ar\theta$-理論を拡張できるか？

主な発見

• 弱 $Z(q)$ の下で、調和 $(0,q)$-形式の空間 $ abla^{q}(\bar\theta)$ は自明である。これは $L^2$ 可解性への重要な段階である。
• $\bar\theta$-ラプラシアン $ abla^{q}$ は $L^2_{(0,q)}(\bar\theta)$ で値域が閉じており、$ar\theta u = f$ の解の存在を保証する。
• $\bar\theta$-ノイマン作用素 $N^q$ は $L^2_{(0,q)}(\bar\theta)$ で存在し、連続的である。これは最良の正則性を意味する。
• $\bar\theta$ は $L^2_{(0,q)}(\bar\theta)$ および $L^2_{(0,q+1)}(\bar\theta)$ で値域が閉じており、$ar\theta^*$ は $L^2_{(0,q)}(\bar\theta)$ および $L^2_{(0,q-1)}(\bar\theta)$ で値域が閉じている。
• 弱 $Z(q)$ は $(q-1)$-擬凸性および著者らの以前の弱 $Z(q)$ よりも厳密に一般である。これは命題 6.1 における反例によって示されている。
• 有界領域で弱 $Z(2)$ が全域的に成り立つ例が存在するが、その場合、ユークリッド計量は弱 $Z(2)$ を満たさず、$t \to \bar\theta$ に対して $t \geq 6$ のとき条件が成り立つ。