[論文レビュー] On inverses of Krein's Q-functions

Claudio Cacciapuoti, Davide Fermi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$ \mathscr{Q} $-関数 $ Q_z $ を用いてKreïn型の解離公式によって定義される自己共役作用素 $ A_Q $ に対して、$ Q_z $ および $ Q_{\bar{z}} $ が有界に可逆であるような点の集合 $ Z_Q $ が、$ \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ に正確に一致することを示している。ただし $ Z_Q \neq \emptyset $ の場合に限る。証明は第一解離恒等式の代数的変形に依拠しており、従来の通常の境界三つ組や一様に厳密なネヴァンリンナ関数の枠組みを超えて、結果を拡張している。

ABSTRACT

Let $A_{Q}$ be the self-adjoint operator defined by the $Q$-function $Q:z\mapsto Q_{z}$ through the Krein-like resolvent formula $$(-A_{Q}+z)^{-1}= (-A_{0}+z)^{-1}+G_{z}WQ_{z}^{-1}VG_{\bar z}^{*}\,,\quad z\in Z_{Q}\,,$$ where $V$ and $W$ are bounded operators and $$Z_{Q}:=\{z\inρ(A_{0}): ext{$Q_{z}$ and $Q_{\bar z }$ have a bounded inverse}\}\,.$$ We show that $$Z_{Q} ot=\emptyset\quad\Longrightarrow\quad Z_{Q}=ρ(A_{0})\cap ρ(A_{Q})\,.$$ We do not suppose that $Q$ is represented in terms of a uniformly strict, operator-valued Nevanlinna function (equivalently, we do not assume that $Q$ is associated to an ordinary boundary triplet), thus our result extends previously known ones. The proof relies on simple algebraic computations stemming from the first resolvent identity.

研究の動機と目的

• Kreïnの解離公式によって定義される自己共轭拡大作用素 $ A_Q $ に対して、$ \mathscr{Q} $-関数 $ Q_z $ が有界に可逆となる領域 $ Z_Q $ が、$ \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ に一致するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 従来の通常の境界三つ組の枠組みを超えて、$ Q_z $ が一様に厳密なネヴァンリンナ関数であると仮定するのではなく、$ \mathscr{Q} $-関数に関する既知の結果を拡張すること。
• 解離公式が $ \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ 全体で有効であることを、$ \text{ran}(\tau) = \mathsf{K} $ または $ V = \pi $, $ W = \pi^* $ を仮定しない最小限の仮定のもとで確立すること。
• 境界三つ組理論や高度な関数解析的仮定に依存せず、第一解離恒等式に基づく自己完結的で代数的な証明を提供すること。

提案手法

• 証明は第一解離恒等式を用いて、$ R^0_z = (-A_0 + z)^{-1} $ と $ R^Q_z = (-A_Q + z)^{-1} $ の解離作用素を関連づけ、$ R^Q_z - R^0_z $ を $ G_z, W, Q_z^{-1}, V, G_{\bar{z}}^* $ の式で表現する。
• 補助作用素 $ \widehat{\Lambda}_z^Q $ を $ Q_w^{-1} $ と解離差分を用いて定義し、$ z \in \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ に対して $ Q_z^{-1} $ に等しいことが示される。
• 解離差分公式と解離恒等式を用いて、$ R^Q_z - R^0_z = (1 + (w-z)R^0_z)G_w W \Lambda_w V G_{\bar{w}}^* (1 + (w-z)R^Q_z) $ といった重要な恒等式を導出する。
• 証明では $ \widehat{\Lambda}_z^Q Q_z = 1_{\mathsf{Y}} $ および $ Q_z \widehat{\Lambda}_z^Q = 1_{\mathsf{X}} $ が示され、$ \widehat{\Lambda}_z^Q = Q_z^{-1} $ が得られ、$ Q_z $ が可逆であることと $ z \in \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ が同値であることが示される。
• 証明は $ \tau $ が全射であるか、$ V, W $ が射影であるかという仮定を避け、解離公式の代数的構造と $ Z_Q $ 上での $ Q_z $ の可逆性にのみ依拠する。
• 境界三つ組の完全な枠組みに依存しないため、無限大の欠損指数を持つ場合や通常でない境界三つ組に対しても適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $ Z_Q $（$ Q_z $ および $ Q_{\bar{z}} $ が有界に可逆である点）が、$ Z_Q \neq \emptyset $ を仮定しても常に $ \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ に一致するか？
• RQ2 解離公式が $ Q_z $ が一様に厳密なネヴァンリンナ関数であると仮定しない場合でも、$ \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ 全体に拡張可能か？
• RQ3 解離公式の可逆性と $ z \in \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ の同時属性が、$ \text{ran}(\tau) \neq \mathsf{K} $ の場合でも同値であるか？
• RQ4 境界三つ組理論や追加の関数解析的仮定を用いずに、この同値性の証明が可能か？

主な発見

• 本稿では $ Z_Q \neq \emptyset $ ならば $ Z_Q = \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ が成り立つことを証明しており、$ Q_z $ の可逆性の定義域が $ A_0 $ と $ A_Q $ の共通の解離集合に正確に一致することを示している。
• $ \mathscr{Q} $-関数 $ Q_z $ の逆関数は明示的に $ \widehat{\Lambda}_z^Q $ として与えられ、補助点 $ w \in Z_Q $ に依存しない。
• 解離公式 $ (-A_Q + z)^{-1} = (-A_0 + z)^{-1} + G_z W Q_z^{-1} V G_{\bar{z}}^* $ は、$ Z_Q $ に限らず、$ \rho(A_0) \cap \rho(A_Q) $ 全体で成り立つ。
• 証明は第一解離恒等式と代数的変形にのみ依拠しており、$ Q_z $ がネヴァンリンナ関数であるか、$ \tau $ が全射であるかという仮定は不要である。
• $ V \neq \pi $, $ W \neq \pi^* $, または $ \text{ran}(\tau) \neq \mathsf{K} $ の場合でも結果は成り立つため、境界三つ組理論における従来の結果を一般化している。
• 恒等式 $ (w-z)^{-2}(\widehat{\Lambda}_z^Q Q_z - 1) = 0 $ が代数的に導出され、$ \widehat{\Lambda}_z^Q $ が $ Q_z $ の両側逆元であることが確認されている。