[論文レビュー] Closed, Rich, Privileged, Trapezoidal, and Balanced Words in Automatic Sequences.

Luke Schaeffer, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

semigroups and automata theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自動列における閉じる、豊かさ、特権的、台形的、バランスの取れた性質が、一階論理で表現可能であることを確立しており、それらの特徴関数が自動的であることを示唆している。本稿では特権的語の新しい特徴付けを導入し、Thue-Morse、Rudin-Shapiro、Fibonacci などの主要な列の特徴関数を計算している。

ABSTRACT

We prove that the property of being closed (resp., rich, privileged trapezoidal, balanced) is expressible in first-order logic for automatic (and some related) sequences. It therefore follows that the characteristic function of those n for which an automatic sequence x has a closed (resp., privileged, rich, trapezoidal, balanced) factor of length n is automatic. For privileged words this requires a new characterization of the privileged property. We compute the corresponding characteristic functions for various famous sequences, such as the Thue-Morse sequence, the Rudin-Shapiro sequence, the ordinary paperfolding sequence, period-doubling sequence, and the Fibonacci sequence.

研究の動機と目的

• 自動列の基本的な組合せ的性質が論理的に形式化可能かどうかを特定すること。
• 自動列が閉じる、豊かさ、特権的、台形的、バランスの取れた因子をもつ長さ n の集合が、自身自動的であることの確立。
• 特権的性質の新しい論理的特徴付けを開発し、それが自動列において一階論理で表現可能であるようにすること。
• Thue-Morse や Rudin-Shapiro を含む代表的な自動列について、これらの性質の特徴関数を計算すること。

提案手法

• 自動列における閉じる、豊かさ、特権的、台形的、バランスの取れた性質を、一階論理式を用いて表現する。
• 特権的語の新しい特徴付けを導入し、それが一階論理で表現可能であるようにする。
• 自動列が一階論理で定義可能な述語に関して閉じている性質を活用し、このような長さの特徴関数が自動的であることを示す。
• 既知の自動列における一階論理で定義可能な集合のためのアルゴリズムを適用し、特定の列の特徴関数を計算する。
• Thue-Morse、Rudin-Shapiro、Fibonacci などのよく知られた列の構造的性質を活用し、それらの特徴関数をそれぞれ計算する。
• 各ターゲット列について特徴関数を計算・検証することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自動列における閉じる性質が一階論理で表現可能かどうか。
• RQ2 自動列が長さ n の豊かさ因子をもつ長さ n の集合が自動的かどうか。
• RQ3 特権的性質が、自動列において一階論理で表現可能であるように論理的に特徴付け可能かどうか。
• RQ4 自動列における台形的およびバランスの取れた因子の特徴関数が自動的かどうか。
• RQ5 Thue-Morse や Rudin-Shapiro のような代表的な列の明示的な特徴関数は何か。

主な発見

• 自動列が長さ n の閉じる因子をもつような長さ n の特徴関数は自動的である。
• 自動列が長さ n の豊かさ因子をもつような長さ n の特徴関数は自動的である。
• 特権的語の新しい論理的特徴付けにより、それが自動列において一階論理で表現可能である。
• 自動列が長さ n の特権的因子をもつような長さ n の特徴関数は自動的である。
• 本手法により、Thue-Morse、Rudin-Shapiro、通常のペーパーフォールディング、周期倍増、Fibonacci 列の特徴関数が正常に計算された。
• 結果として、組合せ的性質の論理的表現可能性が、それに対応する特徴関数の自動性をもたらすことが確認された。