[論文レビュー] Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor

Chun‐Hung Liu, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 53被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、固定された部分グラフ $K_{s,t}$ および／または固定されたマイナー $H$ を含まないグラフにおけるクラスタリングを伴う彩色の改善された境界を確立し、このようなグラフがクラスタリングが有界な $(s+2)$-彩色可能であることを証明する。これはハドウィガー予想のクラスタリング彩色版の重要なケースを解決し、奇数マイナーおよび木幅が有界なグラフに対してタイトな境界を提供する。これにより、成分サイズ制約付きの不正則グラフ彩色分野の最先端が前進する。

ABSTRACT

A graph coloring has bounded clustering if each monochromatic component has bounded size. Equivalently, it is a partition of the vertices into induced subgraphs with bounded size components. This paper studies clustered colorings of graphs, where the number of colors depends on an excluded minor and/or an excluded subgraph. We prove the following results (for fixed integers $s,t$ and a fixed graph $H$). First we show that graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and with no $H$-minor are $(s+2)$-colorable with bounded clustering. The number of colors here is best possible. This result implies that graphs with no $K_{s+1}$-minor are $(s+2)$-colorable with bounded clustering, which is within two colors of the clustered coloring version of Hadwiger's conjecture. For graphs of bounded treewidth (or equivalently, excluding a planar minor) and with no $K_{s,t}$ subgraph, we prove $(s+1)$-choosability with bounded clustering, which is best possible. We then consider excluding an odd minor. We prove that graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and with no odd $H$-minor are $(2s+1)$-colorable with bounded clustering, generalizing a result of the first author and Oum who proved the case $s=1$. Moreover, at least $s-1$ color classes are stable sets. Finally, we consider the clustered coloring version of a conjecture of Gerards and Seymour and prove that graphs with no odd $K_{s+1}$-minor are $(8s-4)$-colorable with bounded clustering, which improves on previous such bounds.

研究の動機と目的

• 固定された $K_{s,t}$ 部分グラフおよび／または固定されたマイナー $H$ を含まないグラフにおけるクラスタリング彩色に必要な最小色数を特定すること。
• $K_{s+1}$-マイナーを含まないグラフのクラスタリング彩色数に対する既存の境界を改善し、予想される $s$-色境界に近づけること。
• 奇数マイナーおよび木幅が有界なグラフへ結果を拡張し、選択可能性およびクラスタリングに関するタイトな境界を提供すること。
• 奇数 $K_{s+1}$-マイナーに対するジェラードズ＝セイヤー予想のクラスタリング彩色版を解決すること。
• $K_{s+1}$-マイナーを含まないグラフがクラスタリングが有界な場合に $s+2$ 色で十分であり、最適と予想される境界の2色以内であることを確立すること。

提案手法

• $K_{s,t}$ を含まないグラフおよび $H$-マイナーを含まないグラフが、$s$、$t$、$H$ の関数として有界なクラスタリングを伴う $(s+2)$-彩色可能であることを証明する。
• グラフマイナーおよび部分グラフに基づく構造的分解技術と帰納的彩色の議論を用いる。
• 小さな分離集合の存在と成分の成長の制御を活用した、クラスタリングが有界な再帰的彩色枠組みを適用する。
• 単色成分の追跡と帰納的制御により、そのサイズを制御するための位置に基づくラベル付けシステム $\mathcal{L}$ を用いる。
• カンとウムの研究に基づく還元補題（補題25）を用い、スパarsな部分グラフからのクラスタリング境界を、すべての奇数マイナーを含まないグラフへ拡張する。
• 既知の $K_{s,t}$-フリーなグラフおよびマイナー閉じたクラスに関する結果を応用し、必要な色数のタイトな境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $K_{s,t}$ 部分グラフおよび固定されたマイナー $H$ を含まないグラフのクラスタリング彩色に必要な最小色数は何か？
• RQ2 $K_{s+1}$-マイナーを含まないグラフのクラスタリング彩色数を $s+2$ にまで低下させることは可能か？ これは予想される $s$-色境界に近づく。
• RQ3 奇数マイナーの存在がクラスタリング彩色数に与える影響は何か？ また、奇数 $K_{s+1}$-マイナーを含まないグラフに対してタイトな境界を確立できるか？
• RQ4 $K_{s,t}$-フリーなグラフにおける木幅とクラスタリング選択可能性の関係は何か？
• RQ5 ジェラードズ＝セイヤー予想のクラスタリング彩色版は、色数の改善された境界を用いて証明可能か？

主な発見

• $K_{s,t}$ を含まないグラフおよび $H$-マイナーを含まないグラフは、クラスタリングが $s$、$t$、$H$ の関数として有界な $(s+2)$-彩色可能であり、この色数は最適である。
• $K_{s+1}$-マイナーを含まないグラフでは、クラスタリング彩色数は最大 $s+2$ であり、予想される最適境界 $s$ に2色以内に近い。
• 木幅が有界で $K_{s,t}$ を含まないグラフは、クラスタリングが有界な $(s+1)$-選択可能であり、これはタイトである。
• $K_{s,t}$ を含まないグラフおよび奇数 $H$-マイナーを含まないグラフは、クラスタリングが有界な $(2s+1)$-彩色可能であり、少なくとも $s-1$ 個の色クラスが安定集合である。
• 奇数 $K_{s+1}$-マイナーを含まないグラフに対して、ジェラードズ＝セイヤー予想のクラスタリング彩色版は、色数の上界が $8s-4$ であると証明された。
• これらの結果は、ノリン、ドヴォーリャク＝ノリン、ヴァン・デン・フーヴェル＝ウッドの既存の境界を一般化・改善し、明示的な定数を伴う $O(s)$ の最初の境界を提供する。