[論文レビュー] CM Values of Higher Green's Functions

Maryna Viazovska|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、SL₂(ℤ) 上の重さ 2k のモジュラー形式に対して、高次グリーン関数のCM値に関する予想を証明する。2つのCM点が同じ虚二次体に属するとき、関連するモジュラー関係に対応する高次グリーン関数の値が代数的数の対数に一致することを示す。証明はボルチャーツのリフトとシー・サウド双対性を組み合わせ、代数的フーリエ係数と複素乗乗法を持つモジュラー形式を用いて、CM値の代数的性を確立する。

ABSTRACT

Higher Green functions are real-valued functions of two variables on the upper half plane which are bi-invariant under the action of a congruence subgroup, have logarithmic singularity along the diagonal, and satisfy the equation $Δf = k(1 - k)f$, where $Δ$ is a hyperbolic Laplace operator and $k$ is a positive integer. Such functions were introduced in the paper of Gross and Zagier "Heegner points and derivatives of $L$-series"(1986). Also it was conjectured in this paper that higher Green's functions have "algebraic" values at CM points. In many particular cases this conjecture was proven by A. Mellit in his Ph. D. thesis. In this note we present a proof of the conjecture for any pair of CM points lying in the same quadratic imaginary field.

研究の動機と目的

• SL₂(ℤ) 上の重さ 2k のモジュラー形式に関連する高次グリーン関数のCM値の代数的性に関する予想を証明すること。
• 2つのCM点が同じ虚二次体に属する場合、高次グリーン関数が代数的数の対数に等しくなることの確立。
• 整数係数を持つモジュラー形式の文脈において、ボルチャーツのリフトとシー・サウド恒等式を高次グリーン関数へと拡張すること。
• 微分作用素とシータリフトを通じて、グリーン関数のCM値とフーリエ係数が代数的な有理型モジュラー形式を結びつけること。

提案手法

• 重さ 2−2k の弱ホロモーレィックモジュラー形式 g_λ に微分作用素を作用させたもののボルチャーツリフトとして、高次グリーン関数 G_{k,λ} を実現する。
• シー・サウド双対性を用いて、G_{k,λ} のCM値を、フーリエ係数が代数的な有理型モジュラー関数のCM値と関連付ける。
• λ₁, λ₂ が同じ虚二次体に属するとき、符号型 (2,0) の格子 N = v⁺(z₁, z₂) ∩ M₂(ℤ) を構成する。
• ボルチャーツシータリフトを適用し、格子 N 上のモジュラー形式 f に対して Φ_{M₂(ℤ)}(v⁺, h_λ) と関連づけ、有理フーリエ係数とゼロ定数項を保証する。
• 定理6を用いて、シータリフト Φ_N(f) が log α に等しく、α ∈ ̄ℚ であることを示す。複素乗乗法とフーリエ係数の代数的性を活用する。
• リフトと双対性の連鎖を通じて、G_{k,λ}(z₁, z₂) = Φ_N(f) = log α であるという主要な恒等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S_{2k}(SL₂(ℤ)) 上のモジュラー関係 λ に関連する高次グリーン関数 G_{k,λ} のCM値は、代数的数の対数に一致するか？
• RQ2 シー・サウド双対性とボルチャーツリフトは、高次グリーン関数へと拡張可能であり、CM値の代数的性を証明できるか？
• RQ3 z₁, z₂ が同じ虚二次体に属するとき、G_{k,λ} のCM値が ̄ℚ× に属するための条件は何か？
• RQ4 微分作用素 R^{k−1} とシータリフトは、どのように作用して、フーリエ係数が代数的なモジュラー形式を生成するか？

主な発見

• z₁, z₂ が同じ虚二次体に属するとき、CM値 G_{k,λ}(z₁, z₂) は、ある代数的数 α ∈ ̄ℚ に対して log α に等しい。
• 高次グリーン関数 G_{k,λ} は、重さ 2−2k の弱ホロモーレィックモジュラー形式 g_λ に対して R^{k−1}(g_λ) のボルチャーツシータリフトとして実現される。
• 格子 N = v⁺(z₁, z₂) ∩ M₂(ℤ) は符号型 (2,0) であり、有理スプリッティングを定義し、N 上のモジュラー形式の利用を可能にする。
• フーリエ係数が代数的なモジュラー形式 f のシータリフト Φ_N(f) は log α を与え、これは G_{k,λ}(z₁, z₂) に等しい。
• 証明は、フーリエ係数が代数的である有理型モジュラー関数のCM値と関連付けるために、シー・サウド双対性に依存している。