[論文レビュー] CMV biorthogonal Laurent polynomials: Christoffel formulas for Christoffel and Geronimus perturbations

Gerardo Ariznabarreta, Manuel Mañas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素平面におけるCMV双直交ローレンツ多項式に対して、2種類の摂動—クリスティオフェル型（ローレンツ多項式による乗算）およびゲロニムス型（ローレンツ多項式で除算し、その零点に質量を加える）—の下で、クリスティオフェル型の公式を展開する。摂動された多項式、ノルム、クリスティオフェル＝ダービュー核、および第二種関数の明示的接続公式を提供する。準備されたローレンツ多項式に対しては、2n個の摂動なしの量のみを含む準確定的表現が得られ、特に単位円の場合には、多項式族または混合核を用いた二重表現が存在する。

ABSTRACT

Quasidefinite sesquilinear forms for Laurent polynomials in the complex plane and corresponding CMV biorthogonal Laurent polynomial families are studied. Bivariate linear functionals encompass large families of orthogonalities like Sobolev and discrete Sobolev types. Two possible Christoffel transformations of these linear functionals are discussed. Either the linear functionals are multiplied by a Laurent polynomial, or are multiplied by the complex conjugate of a Laurent polynomial. For the Geronimus transformation, the linear functional is perturbed in two possible manners as well, by a division by a Laurent polynomial or by a complex conjugate of a Laurent polynomial, in both cases the addition of appropriate masses (linear functionals supported on the zeros of the perturbing Laurent polynomial) is considered. The connection formulas for the CMV biorthogonal Laurent polynomials, its norms, and Christoffel-Darboux kernels, in all the four cases, are given. For the Geronimus transformation, the connection formulas for the second kind functions and mixed Christoffel-Darboux kernels are also given in the two possible cases. For prepared Laurent polynomials, i.e. of the form $L(z)=L_nz^n+\cdots+L_{-n}z^{-n}$, $L_nL_{-n} eq 0$, these connection formulas lead to quasideterminantal (quotient of determinants) Christoffel formulas for all the four transformations, expressing an arbitrary degree perturbed biorthogonal Laurent polynomial in terms of $2n$ unperturbed biorthogonal Laurent polynomials, their second kind functions or Christoffel-Darboux kernels and its mixed versions. The unit circle case, given its exceptional properties, is discussed in more detail.

研究の動機と目的

• 複素平面におけるCMV双直交ローレンツ多項式の設定に、クリスティオフェルおよびゲロニムス変換を拡張すること。
• 両タイプの摂動の下で、摂動された双直交ローレンツ多項式、そのノルム、およびクリスティオフェル＝ダービュー核の明示的接続公式を導出すること。
• 単位円の場合の特殊ケースを分析し、摂動された量が非摂動された族または混合核を用いて二重表現として現れる仕組みを解明すること。
• 準備されたローレンツ多項式に対して、摂動された多項式を2n個の非摂動されたオブジェクトのみを用いて表す準確定的公式を提供すること。
• 実数直線、円、カッシニの楕円、カーディオイドの例を用いて公式を検証し、単位円における詳細な解析を実施すること。

提案手法

• ローレンツ多項式上の準定値セミ内積形式を用い、ソボレフ型および離散型を含む一般化された直交性を定式化する。
• 2種類のクリスティオフェル型変換を定義する：ローレンツ多項式による乗算およびその複素共役による乗算。
• 2種類のゲロニムス型変換を導入する：ローレンツ多項式による除算およびその複素共役による除算、それぞれに摂動多項式の零点にディラック質量を加える。
• スペクトルジェット、第二種関数、および混合クリスティオフェル＝ダービュー核を用い、行列逆行列化および内積恒等式を活用して接続公式を導出する。
• 準備されたローレンツ多項式（対称的次数サポート）に対しては、非摂動された多項式および核から構成される行列の行列式に基づく準確定的表現に簡略化される。
• 単位円の場合を詳細に分析し、摂動された量に対して二重表現が現れることが判明：一つは非摂動された双直交族のみを用い、もう一つはクリスティオフェル＝ダービュー核およびその混合バージョンを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ多項式およびその複素共役による乗算の下で、クリスティオフェル変換をCMV双直交ローレンツ多項式にどのように一般化できるか。
• RQ2 ローレンツ多項式およびその複素共役による除算に加え、質量点を加えるゲロニムス変換の接続公式は何か。
• RQ3 これらの摂動の下で、ノルム、クリスティオフェル＝ダービュー核、および第二種関数はどのように変化するか。
• RQ4 準備されたローレンツ多項式に対して、どのような準確定的公式が得られ、それらは摂動多項式の次数とどのように関係するか。
• RQ5 単位円の場合に現れる特徴的な二重表現とは何か。また、それらは逆多項式の役割をどのように反映しているか。

主な発見

• 次数nの準備されたローレンツ多項式に対して、任意の次数の摂動された双直交ローレンツ多項式は、正確に2n個の非摂動された多項式、第二種関数、またはクリスティオフェル＝ダービュー核の線形結合として表現可能である。
• 4種類の変換タイプ（クリスティオフェルおよびゲロニムス、それぞれ2種類の変種）すべてについて、行列逆行列化および内積構造を用いて閉形式の接続公式が導出された。
• 単位円の場合、摂動された量は二通りの異なる表現を持つ：一つは非摂動された双直交族のみを用い、もう一つは混合クリスティオフェル＝ダービュー核を用いる。
• 公式は準確定的である。つまり、非摂動されたオブジェクトから構成される行列式の比として摂動された量が表現され、次数に依存しない一定数の項を保持する。
• 第二種関数および混合クリスティオフェル＝ダービュー核が摂動系と明示的に接続されており、スペクトルデータの完全な再構成が可能である。
• 実数直線、円、カッシニの楕円、カーディオイドにおける例は、一般枠組みを確認しており、単位円の場合には逆多項式の役割により顕著な対称性が示されている。