[論文レビュー] Co-rings over operads characterize morphisms

Kathryn Hess, Paul-Eugène Parent+1 more|ArXiv.org|May 26, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、特にチェーン複体の文脈において、代数的対象間の準同型の高次ホモトピー構造を符号化する枠組みとして、オペラッド上のコリングを導入する。微分する関手 Φ を構成し、チェーンコモノイドの対称系列から半自由なコリングを生成することで、従来バーバーとコバーバーの構成によって定義されていた DASH および DCSH の圏を、結合的オペラッドの両側 Koszul 分解を鍵とする完全にオペラッド的特徴付けによって与える。これにより、アサイクルモデルを用いたホモトピー論的構成が可能になる。

ABSTRACT

Let M be a bicomplete, closed symmetric monoidal category. Let P be an operad in M, i.e., a monoid in the category of symmetric sequences of objects in M, with its composition monoidal structure. Let R be a P-co-ring, i.e., a comonoid in the category of P-bimodules. The co-ring R induces a natural ``fattening'' of the category of P-(co)algebras, expanding the morphism sets while leaving the objects fixed. Co-rings over operads are thus ``relative operads,'' parametrizing morphisms as operads parametrize (co)algebras. Let A denote the associative operad in the category of chain complexes. We define a ``diffracting'' functor that produces A-co-rings from symmetric sequences of chain coalgebras, leading to a multitude of ``fattened'' categories of (co)associative chain (co)algebras. In particular, we obtain a purely operadic description of the categories DASH and DCSH first defined by Gugenheim and Munkholm, via an A-co-ring that has the two-sided Koszul resolution of A as its underlying A-bimodule. The diffracting functor plays a crucial role in enabling us to prove existence of higher, ``up to homotopy'' structure of morphisms via acyclic models methods. It has already been successfully applied in this sense in a number of recent articles and preprints.

研究の動機と目的

• （コ）代数間の準同型の高次ホモトピー構造を、オペラッド上のコリングを用いて符号化する一般枠組みを構築すること。
• DASH および DCSH の圏を、バーバーとコバーバーの構成に依存せず、完全にオペラッド的記述によって特徴付けること。
• チェーン代数またはコモノイド間の準同型が、それらのバーバーまたはコバーバー構成への上に持ち上げられるための条件を確立すること。
• 準同型圏における高次ホモトピー構造の存在を示すために、アサイクルモデル技法を用いることの可処理を可能にすること。
• チェーンコモノイドの対称系列から得られる自然な「微分する」関手を用いて、DASH-および DCSH 型構造を一般化すること。

提案手法

• 与えられたオペラッド上の双モジュール圏におけるコモノイドとしてのオペラッド上のコリングを導入し、準同型をパrametrizeする「相対的オペラッド」としての役割を果たす。
• 任意のチェーンコモノイドの対称系列に A-コリングを割り当てる微分する関手 Φ を定義し、コモノイド的データから半自由なコリングを生成する。
• A-コリング F = Φ(J) を構成し、ここで J はオペラッド構造の単位元であり、F の基になる双モジュールは結合的オペラッド A の両側 Koszul 分解で与えられる。
• 得られた半自由コリング F を用いて、DASH および DCSH の圏を、A-（コ）代数にコリング作用を備えた圏として特徴付ける。
• アサイクルモデル法を適用し、チェーン写像 τ:UX→UY を高次ホモトピー準同型に拡張する自然かつ乗法的な変換の存在を証明する。
• コバーバー構成に対する帰納法を用いて、ΩX から Ω²X への準同型を持ち上げ、DCSH 構造における高次ホモトピー構造を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 （コ）代数間の準同型は、（コ）代数をパrametrizeするオペラッドの一般化としてのオペラッド上のコリングを用いて、どのように符号化できるか？
• RQ2 DASH および DCSH の圏は、バーバーとコバーバー構成に依存せず、完全にオペラッド的コリングの観点から特徴付けられるか？
• RQ3 結合的オペラッドの両側 Koszul 分解が、DASH-および DCSH-準同型をパrametrizeするコリングを構成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 アサイクルモデル技法を用いて、チェーン（コ）代数間の準同型における高次ホモトピー構造の存在をどのように証明できるか？
• RQ5 微分する関手 Φ を用いて、チェーンコモノイドの対称系列から、高次ホモトピー準同型のパラメータ族を構成できるか？

主な発見

• DASH の圏は、A-コリング F による作用を備えた、増加的かつ連結な結合的チェーン代数の圏として特徴付けられる。ここで F は結合的オペラッド A の両側 Koszul 分解である。
• DCSH の圏も同様に、余単位的かつ連結なコ結合的チェーンコモノイドに、同一の A-コリング F による作用を備えた圏として特徴付けられる。
• 微分する関手 Φ は、任意のチェーンコモノイドの対称系列 X に対して、半自由な A-コリング Φ(X) を生成し、Φ(J) = F は DASH および DCSH の鍵となるコリングである。
• 源が自由かつグローバルに連結で、標的がアサイクルであるとき、チェーン写像 τ:UX→UY を拡張する自然かつ乗法的な変換の存在がアサイクルモデルによって保証される。
• コリング作用に関する帰納法を用いて、Ω²X および Ω²Y に高次ホモトピー構造を確立し、s⁻¹τ を拡張する準同型 Θ:Ω²X→Ω²Y を得る。
• この構成により、弱同値 Ω²C* (EK) → C*(G²EK) が DCSH 準同型として自然であることが説明され、以前のループ空間および有理ホモトピー論に関する結果が一般化される。