[論文レビュー] Coactions of Hopf $C^*$-algebras on Cuntz-Pimsner algebras

Dong-woon Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$C^*$-correspondence 上のHopf $C^*$-代数のcoactionを導入し、弱 $\delta$-不変性の下で、このようなcoactionが関連するCuntz-Pimsner代数にcoactionを誘導することを示している。共変性条件の下で、$\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ と $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ の間に同型が存在することを証明し、既知のアメニタリ群に関する結果を任意の局所コンパクト群へ拡張している。この設定において、Cuntz-Pimsner共変性条件は余分であることが示されている。

ABSTRACT

Unifying two notions of an action and coaction of a locally compact group on a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence we introduce a coaction $(σ,δ)$ of a Hopf $C^*$-algebra $S$ on a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence $(X,A)$. We show that this coaction naturally induces a coaction $ζ$ of $S$ on the associated Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal{O}_X$ under the weak $δ$-invariancy for the ideal $J_X$. When the Hopf $C^*$-algebra $S$ is defined by a well-behaved multiplicative unitary, we construct a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence $(X times_σ\widehat{S},A times_δ\widehat{S})$ from $(σ,δ)$ and show that it has a representation on the reduced crossed product $\mathcal{O}_X times_ζ\widehat{S}$ by the induced coaction $ζ$. This representation is used to prove an isomorphism between the $C^*$-algebra $\mathcal{O}_X times_ζ\widehat{S}$ and the Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal{O}_{X times_σ\widehat{S}}$ under the covariance assumption which is guaranteed in particular if the ideal $J_{X times_σ\widehat{S}}$ of $A times_δ\widehat{S}$ is generated by the canonical image of $J_X$ in $M(A times_δ\widehat{S})$ or the left action on $X$ by $A$ is injective. Under this covariance assumption, our results extend the isomorphism result known for actions of amenable groups to arbitrary locally compact groups. The Cuntz-Pimsner covariance condition which was assumed for the same isomorphism result concerning group coactions is shown to be redundant.

研究の動機と目的

• Hopf $C^*$-代数のcoactionを $C^*$-correspondence 上に導入することで、群作用とcoactionの概念を統一すること。
• 理想 $J_X$ が弱 $\delta$-不変である場合、このようなcoactionが関連するCuntz-Pimsner代数にcoactionを誘導することを確立すること。
• coaction $(\sigma,\delta)$ から、$C^*$-correspondence $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ を構成し、それが reduced crossed product $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ を表すことを示すこと。
• 共変性仮定の下で、同型 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S} \cong \mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ を証明し、以前のアメニタリ群に関する結果を任意の局所コンパクト群へ一般化すること。
• この設定において、Cuntz-Pimsner共変性条件が余分であることを示し、同型の基準を単純化すること。

提案手法

• Hilbertモジュール構造と $A$ による左作用と整合するように、Hopf $C^*$-代数 $S$ の $C^*$-correspondence $(X,A)$ 上のcoaction $(\sigma,\delta)$ を定義すること。
• 理想 $J_X$ の弱 $\delta$-不変性を仮定して、Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_X$ 上への誘導されたcoaction $\zeta$ を定義すること。
• 管理可能マルチプライカティブユニタリから得られるHopf $C^*$-代数 $S$ に対して、クローズド積対応 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ を構成すること。
• 誘導されたcoaction $\zeta$ を用いて、$(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ の $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 上への表現を確立すること。
• 共変性仮定の下で、この表現が $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ と $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ の間の同型であることを証明すること。
• 共変性仮定が、$J_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ が $M(A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 内の $J_X$ の像によって生成される場合、または $A$ の $X$ への左作用が単射である場合に成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hopf $C^*$-代数のcoactionが、群作用とcoactionを統合する形で $C^*$-correspondence 上に定義可能か？
• RQ2 このようなcoactionが自然に関連するCuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_X$ 上にcoactionを誘導するか？
• RQ3 適切な共変性条件の下で、reduced crossed product $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ とCuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ の間に同型が存在するか？
• RQ4 この枠組みを用いて、アメニタリ群から任意の局所コンパクト群へ、同型結果を拡張可能か？
• RQ5 Cuntz-Pimsner共変性条件は必要か、それともこの設定では余分であることが示せるか？

主な発見

• Hopf $C^*$-代数 $S$ の $C^*$-correspondence $(X,A)$ 上のcoaction $(\sigma,\delta)$ は、$J_X$ が弱 $\delta$-不変である限り、Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_X$ 上にcoaction $\zeta$ を誘導する。
• 管理可能マルチプライカティブユニタリから得られるHopf $C^*$-代数 $S$ に対して、クローズド積対応 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ が構成され、それが $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 上に表現されることを示した。
• 共変性仮定の下で、同型 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S} \cong \mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ が確立され、これは $J_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ が $M(A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 内の $J_X$ の像によって生成される場合に成り立つ。
• この同型結果により、既知のアメニタリ群に関する同型が任意の局所コンパクト群へ拡張され、構成の適用範囲が広がった。
• この設定において、Cuntz-Pimsner共変性条件が余分であることが示され、同型の基準が単純化された。
• この枠組みにより、$C^*$-correspondence 上の群作用とcoactionに関する以前の結果が、Hopf $C^*$-代数coactionの設定へ一般化された。