[論文レビュー] Coadjoint Orbits and Conformal Field Theory

Washington Taylor|ArXiv.org|Oct 7, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、余随伴軌道と幾何的量子化を用いた共形場理論（CFT）の幾何的アプローチを提案し、線束上の局所ゲージ条件を通じてバーラトロとアフィン代数の表現を構成する。主な貢献は、フェイジン＝フクスおよびワキモトの構成における技術的問題を回避する新しい双対ヴェルマモジュールとしてのこれらの代数の実現であり、頂点演算子、スクリーニング、インターウイング演算子の明示的公式が線束の断面間の微分作用素として得られる。

ABSTRACT

This thesis describes a new approach to conformal field theory. This approach combines the method of coadjoint orbits with resolutions and chiral vertex operators to give a construction of the correlation functions of conformal field theories in terms of geometrically defined objects. Explicit formulae are given for representations of Virasoro and affine algebras in terms of a local gauge choice on the line bundle associated with geometric quantization of a given coadjoint orbit; these formulae define a new set of explicit bosonic realizations of these algebras. The coadjoint orbit realizations take the form of dual Verma modules, making it possible to avoid the technical difficulties associated with the two-sided resolutions which arise from Feigin-Fuchs and Wakimoto realizations. Formulae are given for screening and intertwining operators on the coadjoint orbit representations. Chiral vertex operators between Virasoro modules are constructed, and related directly to Virasoro algebra generators in certain cases. From the point of view taken in this thesis, vertex operators have a geometric interpretation as differential operators taking sections of one line bundle to sections of another. A suggestion is made that by connecting this description with recent work deriving field theory actions from coadjoint orbits, a deeper understanding of the geometry of conformal field theory might be achieved.

研究の動機と目的

• 余随伴軌道に基づく新しい幾何的枠組みを共形場理論に開発すること。
• フェイジン＝フクスおよびワキモトの構成に見られるような、バーラトロおよびアフィン代数の既存実現における技術的困難を解消すること。
• 幾何的量子化を用いて、相関関数、頂点演算子、スクリーニング、インターウイング演算子の明示的公式を構築すること。
• チャーラル頂点演算子を余随伴軌道に関連する線束の断面間の微分作用素として解釈すること。
• 余随伴軌道の構成と場の理論作用の関連を結びつけることで、CFTの幾何的理解を深める基盤を築くこと。

提案手法

• シンプレクティック多様体上の線束の断面として量子状態を定義するため、余随伴軌道の幾何的量子化を用いる。
• 線束上の局所ゲージ条件を適用して、バーラトロおよびアフィンリー代数の明示的表現を構成する。
• 二重解体がフェイジン＝フクスおよびワキモト実現で一般的に必要なことであるのを避けるために、代数を双対ヴェルマモジュールの形で表現する。
• スクリーニングおよびインターウイング演算子の公式を、余随伴軌道表現上で直接導出する。
• バーラトロモジュール間のチャーラル頂点演算子を、ある線束の断面から別の線束の断面へ写像する微分作用素として構成する。
• 最近の余随伴軌道から導かれた場の理論作用との幾何的統合を示唆し、CFTの幾何的性質をより深く理解する手がかりを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余随伴軌道を用いて、バーラトロ代数の表現を幾何的かつ明示的にどのように構成できるか？
• RQ2 フェイジン＝フクスおよびワキモト実現における二重解体の技術的複雑さは、余随伴軌道上の双対ヴェルマモジュール形式によって回避可能か？
• RQ3 チャーラル頂点演算子の幾何的解釈は、線束断面間の微分作用素としてどのように表現できるか？
• RQ4 スクリーニングおよびインターウイング演算子は、余随伴軌道表現上でどのように明示的に実現できるか？
• RQ5 余随伴軌道の構成と、共形場理論における場の理論作用の導出との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿は、余随伴軌道上の線束における局所ゲージ条件を通じて、バーラトロおよびアフィンリー代数の明示的ボソン的実現を提供する。
• 表現は双対ヴェルマモジュールとして構成され、二重解体の必要性を回避し、代数的構造を単純化する。
• スクリーニングおよびインターウイング演算子の公式が、余随伴軌道表現上で直接導出され、明示的計算が可能になる。
• バーラトロモジュール間のチャーラル頂点演算子が構成され、特定の状況ではバーラトロ代数生成子と直接関係していることが示された。
• 頂点演算子は幾何的に、ある線束の断面から別の線束の断面へ写像する微分作用素として解釈され、代数的構造と幾何が結びつけられる。
• この枠組みは、余随伴軌道から導かれた場の理論作用との幾何的統合の可能性を示唆し、CFT幾何の理解への新たな道筋を提供する。