[論文レビュー] Applied Conformal Field Theory

Paul Ginsparg|ArXiv.org|Nov 11, 1988

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 105被引用数 451

ひとこと要約

1988年のレ・フーチューズで行われたパール・ジンスパルグの講義シリーズは、臨界統計力学および超弦理論への応用を強調しながら、2次元の conformal field theory (CFT) について包括的で教育的な導入を提供する画期的なものである。この講義では、Virasoro代数、中心指数、最高重層表現、モジュラー不変性を体系的に展開し、モジュラー S行列の双対性を用いて融合則を導出し、coset構成や W-代数との関係を確立している。また、自由フェルミオンおよびボソン化を用いた臨界イジング模型の明示的実現も示している。

ABSTRACT

These lectures consisted of an elementary introduction to conformal field theory, with some applications to statistical mechanical systems, and fewer to string theory. Contents: 1. Conformal theories in d dimensions 2. Conformal theories in 2 dimensions 3. The central charge and the Virasoro algebra 4. Kac determinant and unitarity 5. Identication of m = 3 with the critical Ising model 6. Free bosons and fermions 7. Free fermions on a torus 8. Free bosons on a torus 9. Affine Kac-Moody algebras and coset constructions 10. Advanced applications

研究の動機と目的

• 専門家と初心者の混合した聴衆を想定し、2次元 conformal field theory について自己完結的で理解しやすい導入を提供すること。
• 中心指数と Virasoro代数が CFT の分類および物理的実現において果たす役割を明確にすること。
• モジュラー不変性およびモジュラー S行列が、有理的 CFT における融合則と特性分解をどのように記述するかを示すこと。
• 抽象的な CFT の構造と、特に臨界イジング模型や自由フェルミオン／ボソン系といった具体的な物理モデルを結びつけること。
• coset構成、W-代数、およびモジュラー不変性の A-D-E 分類といった高度なトピックの基盤を築くこと。

提案手法

• 2次元における径数量子化と一次元場のモード展開を用いて、共形代数およびウォード恒等式を導出する。
• ストレステンソルのモード展開を用いて Virasoro代数を構成し、最高重層状態とその後続状態を特定する。
• Kac行列式を導入し、ユニタリティの分析と、特に c < 1 の最小モデルにおける許容表現の分類を実施する。
• トーラス分割関数のモジュラー不変性を用いて、一貫性のある CFT の分類を行い、S行列を介して融合則を導出する。
• coset構成を用いて、アフィン Kac-Moody代数から新しい CFT を構成し、SU(2)k や SU(3)1×SU(3)1/SU(3)2 といった具体的な例を示す。
• モジュラー不変な分割関数は最大のチラル代数において対角的であり、S行列による S-対角化によって融合則が決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における共形不変性の制約が、Virasoro代数およびその中心指数の構造をどのように導くのか。
• RQ2 Kac行列式が2次元 CFT におけるユニタリティの判定および許容表現の分類に果たす役割は何か。
• RQ3 トーラス分割関数のモジュラー不変性を用いて、一貫性のある CFT の分類および融合則の抽出はどのように可能か。
• RQ4 coset構成および W-代数が、臨界イジング模型のような既知の CFT の代替的実現をどのように提供するか。
• RQ5 有理的 CFT における一次元場の融合則とモジュラー S行列の関係は何か。

主な発見

• 臨界イジング模型は c = 1/2 の自由フェルミオン理論として実現され、トーラス上での分割関数はモジュラー不変である。
• c < 1 の最小モデルにおける融合則は、S行列による融合代数の対角化によって導出され、微分方程式法と整合することが確認された。
• スピン3の W-代数の分割関数 (9.56) は、より大きなチラル代数において対角的であり、特性関数 χ′₀ = χ₀ + χ₃ を満たし、SU(3)₁×SU(3)₁/SU(3)₂ に対応し、c = 4/5 である。
• モジュラー S行列 Sij は融合則を対角化し、Nijk = Σₙ Sjn Sin S†ₙₖ / S₀ₙ という式が得られ、既知の SU(2)k の融合則を再現する。
• N = 2 スーパーリニア型離散系列と SU(2)k パラフェルミオン模型は m = k + 2 で一致し、後者は自由ボソンとパラフェルミオンを用いて実現される。
• S¹/Z₂ や SU(2)₃/U(1) といったオルビフォールドは、同じ CFT を別の形で実現することができ、臨界イジング模型（c = 1/2）を含む。