[論文レビュー] Coalescent processes arising in a study of diffusive clustering

Andreas Greven, Vlada Limic+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、拡散的移動と局所的遅れ付き共alesceを伴うℤ²上の空間的共alesce過程を研究し、2次元のモーランおよびフィッシャー＝ワイトモデルにおける系統的構造の長期的挙動を確立する。本稿では、再生を伴う共alesce過程を極限対象として導入し、時間・空間スケーリング下での収束を示し、可算個の個体が1サイトに存在する粒子系におけるErdös-Taylorの公式とモーメント推定を用いて漸近的境界を導出する。

ABSTRACT

This paper studies the spatial coalescent on $\Z^2$. In our setting, the partition elements are located at the sites of $\Z^2$ and undergo local delayed coalescence and migration. That is, pairs of partition elements located at the same site coalesce into one partition element after exponential waiting times. In addition, the partition elements perform independent random walks. The system starts in either locally finite configurations or in configurations containing countably many partition elements per site. These two situations are relevant if the coalescent is used to study the scaling limits for genealogies in Moran models respectively interacting Fisher-Wright diffusions (or Fleming-Viot processes), which is the key application of the present work. Our goal is to determine the longtime behavior with an initial population of countably many individuals per site restricted to a box $[-t^{α/2}, t^{α/2}]^2 \cap \Z^2$ and observed at time $t^β$ with $1 \geq β\geq α\ge 0$. We study both asymptotics, as $t o\infty$, for a fixed value of $α$ as the parameter $β\in[α,1]$ varies, and for a fixed $β$, as the parameter $α\in [0,β]$ varies. This exhibits the genealogical structure of the mono-type clusters arising in 2-dimensional Moran and Fisher-Wright systems. (... for more see the actual preprint)

研究の動機と目的

• ℤ²上での局所的共alesceと独立したランダムウォーク移動を伴う空間的共alesce過程の長期的挙動を分析すること。
• 2次元相互作用型モーランおよびフィッシャー＝ワイト拡散モデルにおける単一型クラスタの系統的構造を特徴づけること。
• 再生を伴う共alesce過程を、このような系のスケーリング極限における極限対象として導入し、厳密に構成すること。
• パス空間における収束を確立し、1サイトあたり可算個の個体が存在する粒子系におけるモーメントバウンドを導出すること。

提案手法

• 各分割要素が独立したランダムウォークを実行し、同じ場所に到着した後に指数分布に従う待ち時間後に共alesceするℤ²上での空間的共alesce過程をモデル化する。
• 共alesce過程をカップリングするためのルックダウン構成を適用し、分割要素の数に関するモーメントバウンドを導出する。
• Erdös-Taylorの公式を用いて2次元ブラウン運動の範囲を推定し、共alesce率の減衰を制御する。
• 共alesce性を時間区間内で活用することで、反復的適用による減衰不等式を用いて分割要素数のモーメントバウンドを導出する。
• 時間・空間スケーリング下での漸近的挙動を解析し、パラメータαとβを用いる。初期個体はサイズt^{α/2}のボックスに制限され、時刻t^βで観察される。
• 粒子数の増大を制御し、確率的支配の議論を用いることで、パス空間における一様性と収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ²上での拡散的移動と局所的共alesceを伴う空間的共alesce過程において、分割要素の数は時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ2 特にマクロな時間・空間スケーリング下で、2次元の相互作用型モーランおよびフィッシャー＝ワイトモデルの極限的系統的構造は何か？
• RQ3 1サイトあたり可算個の個体が存在する粒子系のスケーリングにおいて、再生を伴う共alesce過程はどのように極限として現れるか？
• RQ4 初期状態が1サイトあたり無限大の強度を持ち、成長するボックスに制限されている場合、分割要素数の漸近的バウンドは何か？
• RQ5 時間・空間の共同スケーリング下で、空間的共alesce過程が再生を伴う共alesce過程にパス空間で収束することは示せるか？

主な発見

• 十分大きなtに対して、時刻t^βにおける分割要素数は、M(1 ∨ α/(2(β−α)) ∨ 𝔼[#C₂^{Λ(t^{α/2})}]/t^α)で有界であり、Mは有限定数である。
• パラメータαとβを用いた時間・空間の共同スケーリング下で、再生を伴う共alesce過程は空間的共alesce過程のスケーリング極限として現れる。ここで1 ≥ β ≥ α ≥ 0である。
• 反復的適用による減衰不等式を用いて、分割要素数のモーメントバウンドが確立され、共alesceダイナミクス下で粒子数が指数的に減少することが示される。
• Erdös-Taylorの公式とモーメント推定を用いて粒子数の増大を制御することで、パス空間における一様性が証明される。
• 収束の証明に不可欠な漸近的交換性および単調性の性質が、システムに存在する。
• ルックダウンプロセスを用いて再生を伴う共alesce過程が構成され、これは「化石」系統を含む完全な系統的フォレストを極限で記述することが示された。