[論文レビュー] $β$-coalescents and stable Galton-Watson trees

Romain Abraham, Jean‐François Delmas|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$n$ 個のラベル付き葉を持つ安定なガルトン＝ワトソン木の剪定と、$β(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセント過程との間の関係を確立し、このような木における離散的剪定手順が $β$-コアレスセントダイナミクスを生成することを示している。主な結果は、無限分散を持つ安定なガルトン＝ワトソン木における根を分離するために必要なカット数が、$β$-コアレスセントにおける共析イベント数に漸近的に一致することであり、最終共析イベントにおけるブロックサイズの極限分布は、連続的Lévy木への収束によって導かれる。

ABSTRACT

Representation of coalescent process using pruning of trees has been used by Goldschmidt and Martin for the Bolthausen-Sznitman coalescent and by Abraham and Delmas for the $β(3/2,1/2)$-coalescent. By considering a pruning procedure on stable Galton-Watson tree with $n$ labeled leaves, we give a representation of the discrete $β(1+α,1-α)$-coalescent, with $α\in [1/2,1)$ starting from the trivial partition of the $n$ first integers. The construction can also be made directly on the stable continuum L{é}vy tree, with parameter $1/α$, simultaneously for all $n$. This representation allows to use results on the asymptotic number of coalescence events to get the asymptotic number of cuts in stable Galton-Watson tree (with infinite variance for the reproduction law) needed to isolate the root. Using convergence of the stable Galton-Watson tree conditioned to have infinitely many leaves, one can get the asymptotic distribution of blocks in the last coalescence event in the $β(1+α,1-α)$-coalescent.

研究の動機と目的

• 安定なガルトン＝ワトソン木に対して、$\alpha \in [1/2,1)$ に対して $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセント過程を生成する離散的剪定手順を確立すること。
• 安定なガルトン＝ワトソン木における根を分離するために必要なカット数と、$β$-コアレスセントにおける共析イベント数との関係を確立すること。
• 安定な連続的Lévy木への収束を用いて、$\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセントにおける最終共析イベントのブロックサイズの漸近的分布を導出すること。
• 再帰的または二分木の均一剪定に関する既存の結果を拡張し、ノード剪定による $β$-コアレスセントの表現を提供すること。

提案手法

• 子供の生成関数が $g(r) = r + \alpha(1-r)^{1/\alpha}$ である臨界ガルトン＝ワトソン木に対して、内部ノードが $k_x(T)-1$ 比例で選択される剪定手順を定義する。
• 選択されたノードの端末部分木を削除し、新しい葉に元の葉ラベルのブロックを再ラベルすることにより、剪定プロセスを繰り返し実行する。
• 得られる離散的プロセス $\Pi_{\text{GW}}^{[n]}$ が、共析測度 $\Lambda(dx) = \left(\frac{x}{1-x}\right)^\alpha dx$ を持つ $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセントに従うことが示される。
• 指数 $1/\alpha$ の安定Lévy木を用いて連続的設定に拡張し、すべての $n$ に対して同時に表現可能となるようにする。
• 条件付き安定なガルトン＝ワトソン木が連続的Lévy木に収束することを用いて、共析および根分離の極限解析が可能となる。
• 母関数技法およびサイズバイアス付きサイズバイアス付き分布（例：Kestenの木）を用いて、最終共析イベントにおけるブロック数の母関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 個のラベル付き葉を持つ離散的安定ガルトン＝ワトソン木における剪定手順が、$\alpha \in [1/2,1)$ に対して $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセント過程を再現できるか。
• RQ2 無限分散子供分布を有する安定なガルトン＝ワトソン木における根を分離するために必要なカット数の漸近的分布は何か。
• RQ3 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセントにおける最終共析イベントのブロックサイズ分布は、剪定プロセスの連続極限からどのように導かれるか。
• RQ4 $β$-コアレスセントにおける共析イベント数と、対応するガルトン＝ワトソン木におけるカット数との間の関係は何か。

主な発見

• $n$ 個のラベル付き葉を持つ安定なガルトン＝ワトソン木における剪定プロセスは、$\mathbf{P}_n$ の下で、共析測度 $\Lambda(dx) = \left(\frac{x}{1-x}\right)^\alpha dx$ を持つ $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセント過程を生成する。
• 無限分散子供分布を有する安定なガルトン＝ワトソン木における根を分離するために必要なカット数の漸近的数は、$\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセントにおける共析イベント数の漸近的数と一致する。
• $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-コアレスセントにおける最終共析イベントのブロックサイズの極限分布は、安定Lévy木における剪定プロセスの連続極限から導出される。
• 最終共析イベントにおけるブロック数の母関数が、$\varphi_\alpha(r)$ であることが示され、これはサイズバイアス付きおよび条件付きガルトン＝ワトソン木の構成から導出される。
• 条件付き安定なガルトン＝ワトソン木が安定連続的Lévy木に収束することにより、離散的剪定ダイナミクスを連続的設定に移行可能であり、すべての $n$ に対して有効である。
• 解析により、離散的木における根を分離するためのカット数が、$β$-コアレスセントにおける共析イベント数に分布収束することが確認され、極限分布は母関数 $\varphi_\alpha(r)$ で特徴づけられる。