[論文レビュー] Exit times for an increasing Lévy tree-valued process

Romain Abraham, Jean‐François Delmas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ポアソン的ジャンプ構造を用いて、葉に逐次グラフトされた木の確率的点過程を通じて、増大する Lévy 樹木値過程を構成する。Girsanov 変換と Lévy 樹木の可視的測度を用いて、木が所定の高さを超える最初の時間と最初の無限大ジャンプの上昇時間の同時分布を導出する。

ABSTRACT

We give an explicit construction of the increasing tree-valued process introduced by Abraham and Delmas using a random point process of trees and a grafting procedure. This random point process will be used in companion papers to study record processes on Lévy trees. We use the Poissonian structure of the jumps of the increasing tree-valued process to describe its behavior at the first time the tree grows higher than a given height. We also give the joint distribution of this exit time and the ascension time which corresponds to the first infinite jump of the tree-valued process.

研究の動機と目的

• アブラハムとデルマスが導入した増大する Lévy 樹木値過程の明示的構成を、木の確率的点過程とグラフト化メカニズムを用いて行う。
• 純ジャンプ構造とポアソン的ジャンプダイナミクスを用いて、過程の無限小的挙動を特徴付ける。
• 過程において最初に所定の高さを超える時間と最初の無限大ジャンプに対応する上昇時間の同時分布を特定する。
• 成長する樹木値マルコフ過程の文脈において、Girsanov 変換と可視的測度の下での Lévy 樹木の理解を拡張する。

提案手法

• 過程は、成長する木のランダムに選ばれた葉に、${\mathbf{N}}^{\psi_{\theta}}[{\mathcal{T}}\in\bullet]$ に従う分布の木をグラフトすることで構成され、選択は質量測度 ${\mathbf{m}}^{{\mathcal{T}}}$ に重み付けされる。
• 無限小的遷移は、ジャンプが時刻 $\theta_j$ に発生し、木 $\mathcal{T}^j$ が葉 $x_j$ にグラフトされるような、確率的点測度 $\mathcal{N} = \sum_{j\in J} \delta_{(\theta_j, x_j, \mathcal{T}^j)}$ を用いて記述される。
• ジャンプ強度は可視的測度 $\mathbb{N}^{\psi_\theta}$ と Lévy 測度 $\Pi$ から導出され、分岐機構のシフト $\psi_\theta(\lambda) = \psi(\theta + \lambda) - \psi(\theta)$ を通じて行われる。
• 同時分布は Girsanov 変換と剪定手順の特別なマルコフ性を用いて計算される。
• ラプラス変換を用いて、過程の分布、特にスパイン構造と高さ過程を特徴付ける。
• 重要な恒等式は、$\mathbb{N}^\psi$ の下での関数 $F$ の期待値を $\theta$ と $a$ に関する積分で表すことであり、強度測度 $\gamma_\theta(b^\theta(h-a))$ と $[0,h] \times \mathbb{T}$ 上のポアソン的点過程を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増大する Lévy 樹木値過程は、グラフトされた木の点過程を用いてどのように明示的に構成できるか？
• RQ2 特にジャンプダイナミクスとポアソン的ジャンプメカニズムの観点から、過程の無限小的構造は何か？
• RQ3 木が所定の高さを超える最初の時間と最初の無限大ジャンプに対応する上昇時間の同時分布は何か？
• RQ4 Girsanov 変換は、元のと変換された分岐機構の可視的測度の間でどのように関係するか？
• RQ5 スパインと質量測度は、高さ過程と到着時間の特徴付けにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 増大する Lévy 樹木値過程は、$\mathbf{N}^{\psi_\theta}$ から導出される強度を持つポアソン的点過程を用いた、葉にランダムにグラフトされた木の純ジャンプ過程として構成される。
• 無限小的遷移機構は、ジャンプのポアソン的構造によって完全に特徴付けられ、各ジャンプは $\mathbf{N}^{\psi_{\theta_j}}$ に従う分布の独立した木のランダムな葉へのグラフトに対応する。
• 到着時間 $A_h$ と上昇時間の同時分布は、Girsanov 変換と恒等式 \mathbb{N}^\psi[F(\mathcal{T}_{A_h}; \mathcal{T}_{A_h-})g(A_h)] = \int_{\Theta^\psi} d\theta \, g(\theta) \int_0^h da \, \gamma_\theta(b^\theta(h-a)) \exp\left(-\psi'(\theta)a - \int_0^a dx \, \gamma_\theta(b^\theta(h-x))\right) \mathbb{E}\left[\tilde{F}\left(a, \sum_{i\in I} \mathbf{1}_{\{z_i \leq a\}} \delta_{(z_i, \tilde{\mathcal{T}}^i)}\right)\right] を用いて導出される。
• 到着時間 $A_h$ の分布は、強度 $\gamma_\theta(b^\theta(h-a))$ を通じて特徴付けられ、高さ $h$ に至るジャンプの発生レートを捉えている。
• スパイン構造（区間 $[0, H_x]$ として特定される）を用いることで、高さ過程と質量測度を含む期待値をラプラス変換で計算可能となる。
• 結果として、高さ過程とグラフトされた木のポアソン的点過程との間の関係が確立され、過程の分布が強度測度 $\nu_\theta$ と関数 $b^\theta(h)$ によって完全に決定されることを示している。