[論文レビュー] Coalgebroids in monoidal bicategories and their comodules

Ramón Abud Alcalá|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モノイダル2-圏におけるopmonoidal矢印に関する余モジュールのための統一的枠組みを確立し、o-ラックス作用を主要な道具として導入する。3つの余モジュールの定義が同値であることを証明し、opmonoidal矢印がモノイダルである場合、余モジュールの圏が強モノイダル忘却関手を介してモノイダル構造を引き継ぐことを示す。これは、量子カテゴリー理論をより広範な2-圏的設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

Quantum categories have been recently studied because of their relation to bialgebroids, small categories, and skew monoidales. This is the first of a series of papers based on the author's PhD thesis in which we examine the theory of quantum categories developed by Day, Lack, and Street. A quantum category is an opmonoidal monad on the monoidale associated to a biduality $R\dashv R^{\circ}$, or enveloping monoidale, in a monoidal bicategory of modules $\mathsf{Mod}(\mathcal{V})$ for a monoidal category $\mathcal{V}$. Lack and Street proved that quantum categories are in equivalence with right skew monoidales whose unit has a right adjoint in $\mathsf{Mod}(\mathcal{V})$. Our first important result is similar to that of Lack and Street. It is a characterisation of opmonoidal \emph{arrows} on enveloping monoidales in terms of a new structure named \emph{oplax action}. We then provide three different notions of comodule for an opmonoidal arrow, and using a similar technique we prove that they are equivalent. Finally, when the opmonoidal arrow is an opmonoidal monad, we are able to provide the category of comodules for a quantum category with a monoidal structure such that the forgetful functor is monoidal.

研究の動機と目的

• 2-圏的道具を用いて、古典的なモジュール論的設定を超えてbialgebroidsおよび量子カテゴリの理論を一般化すること。
• 特に包拡モノイダルの文脈において、モノイダル2-圏におけるopmonoidal矢印の余モジュールを統一的に扱うこと。
• opmonoidal矢印の3つの異なる余モジュールの定義が同値であることを確立し、基礎的構造を明確化すること。
• opmonoidal矢印がopmonoidalモノイドである場合、余モジュールの圏が強モノイダル忘却関手を伴ってモノイダル構造を持つことの証明。
• Day, Lack, および Street による量子カテゴリに関する結果を、opmonadic随伴とo-ラックス作用を用いて、より一般な2-圏的枠組みへと拡張すること。

提案手法

• 包拡モノイダル上のopmonoidal矢印を特徴付けるために、opmonoidalモノイドの概念を一般化する新しい構造としてo-ラックス作用を導入する。
• opmonoidal矢印とo-ラックス作用の同値性を用いて、このような矢印の3つの異なる余モジュールの定義を定義し、比較する。
• opmonadic随伴および双対随伴の理論を用いて、関連するモノイドおよびコモノイド上のモジュールと余モジュールを関連付ける。
• Kleisli構成と比較関手を用いて、全射性および本質的全射性を証明し、余モジュールの圏の同値性を確立する。
• Mod(V) のモノイダル2-圏構造と双対性 R ⊣ R◦ を活用して、包拡モノイダル R◦⊗R を定義し、モノイダル構造を余モジュールの圏へと持ち上げる。
• 2-圏内の水平合成と整合性同型を用いて、余モジュールのモノイダル構造における結合子と単位子を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル2-圏におけるopmonoidal矢印の余モジュールは、複数の同値な方法でどのように定義できるか？
• RQ2 o-ラックス作用は、包拡モノイダル上のopmonoidal矢印を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 opmonoidalモノイドの余モジュールの圏が、どのような条件下でモノイダル構造を引き継ぐのか？
• RQ4 コールゲブラおよびバイアゲブラの標準的定義と、opmonoidal矢印による新しい枠組みとの関係は何か？
• RQ5 余モジュールの圏から基底圏への忘却関手がモノイダルであるとはどのような状況か、そしてその条件は何か？

主な発見

• 3つの異なるopmonoidal矢印の余モジュールの定義が、2-圏内での同型と同値性の系列を介して同値であることが証明された。
• 包拡モノイダル上にopmonoidalモノイドが与えられた場合、その余モジュールの圏は、基底圏への強モノイダル忘却関手を伴ってモノイダル構造を持つ。
• 余モジュールのモノイダル構造は、水平合成と整合性同型を用いて構成され、結合子と単位子はモノイドの構造から誘導される。
• M = Mod_k の動機的ケースにおいて、結果は既知のコールゲブラおよびバイアゲブラの余モジュールの定義を回復し、統合し、o-ラックス作用、標準的コ作用、opmonoidal矢印のあいだで同値性を示した。
• o-ラックス作用を用いた定義とコ作用を用いた定義との間の同値性が確立され、唯一の違いは基になるモジュール圏（R-Mod-S と Mod-S）にある。
• 補題 7.19 は、包拡モノイダル R◦R 上にopmonoidalモノイド B が与えられたとき、圏 rComodB((R, e1), (R, e1)) がモノイダルであり、M(R, R) への強モノイダル忘却関手を持つことを確認している。