[論文レビュー] Cobordism categories of manifolds with Baas-Sullivan singularities, Part 2

Nathan Perlmutter|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複数のBaas-Sullivan特異点をもつ多様体のcobordism圏を構成し、その分類空間のホモトピー型が特定のThomスペクトル $\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ の無限ループ空間と一致することを同定する。Galatius, Madsen, Tillmann, Weissの非構造的多様体に関する研究を一般化し、Genauerの角を持つ多様体に関する結果を拡張し、無限ループ空間論を用いた特異多様体のモジュライ空間を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

For a given list of closed manifolds $Σ_k=(P_1,...,P_k)$, we construct a cobordism category $\mathbf{Cob}_{d}^{Σ_{k}}$ of embedded manifolds with Baas-Sullivan singularities of type $Σ_k$. Our main results identify the homotopy type of the classifying spaces $B\mathbf{Cob}_{d}^{Σ_{k}}$ of these cobordism categories with that of the infinite loop-space of a certain spectrum, $\mathsf{MT}_{Σ_{k}}(d)$. Our results generalize of the work of Galatius, Madsen, Tillmann, and Weiss from arXiv:math/0605249. It also generalizes the work of Genauer on the cobordism categories of manifolds with corners from arXiv:0810.0581.

研究の動機と目的

• 複数のBaas-Sullivan特異点をもつ多様体のcobordism圏の枠組みを $\Sigma_k$ 型の特異点に対して拡張すること。
• Galatius, Madsen, Tillmann, Weissの非構造的多様体に関する結果を特異的状況に一般化すること。
• Genauerの角を持つ多様体に関する研究を、より広範な特異cobordism枠組みの中で統一的かつ拡張的に扱うこと。
• 分類空間 $B\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ のホモトピー型がスペクトル $\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ の無限ループ空間と一致することを同定すること。

提案手法

• 対象として $\mathbb{R}^\infty$ 内の埋め込み済みで閉じた $(d-1)$ 次元の $\Sigma_k$-多様体、射として $[0,1] \times \mathbb{R}^\infty$ 内の埋め込み済み $d$ 次元の $\Sigma_k$-cobordism を用いて、cobordism圏 $\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ を構成する。
• カテゴリを位相的に定義し、その分類空間 $B\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ が、対象に対して $\coprod_{[M]} \mathrm{BDiff}^{\Sigma_k}(M)$、射に対して $\coprod_{[W]} \mathrm{BDiff}_{\Sigma_k}(W)$ とホモトピー型が一致するようにする。
• チューブ近傍構成と滑らかな変形写像 $\eta$ を用いて、与えられた埋め込みの近傍上でのファイバー束を自明化し、構造写像が局所的に自明であることを保証する。
• 滑らかで非増加な関数 $\lambda$ と非減少関数 $\rho$ を用いて、特異構造を保存しながら埋め込みを変形する時間に依存する同倫を定義する。
• 随伴を用いて写像 $\eta$ を微分同相群への滑らかな写像の空間へと持ち上げ、その像が-compactly な補間を持つ微分同相写像の開部分集合内にあることを保証する。
• 写像 $\bar{\eta}$ を構成することで、制限写像 $r_1$ の局所自明性を確立し、$\bar{\eta}(f) = \mathrm{id}$ かつ $r_1(\bar{\eta}(g) \circ \hat{f}) = g$ を満たすようにする。これにより、束が局所的に自明であることが示され、分類空間技法の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のBaas-Sullivan特異点をもつ多様体のcobordism圏を、厳密に定義し、位相的に定義することは可能か？
• RQ2 このようなcobordism圏の分類空間のホモトピー型は何か？
• RQ3 これは、Galatius, Madsen, Tillmann, Weissの非構造的多様体に関する古典的結果をどのように一般化するか？
• RQ4 この枠組みは、Genauerの角を持つ多様体に関する研究をどの程度拡張するか？
• RQ5 Thomスペクトル $\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ の無限ループ空間構造は、特異点をもつcobordism圏の分類空間として実現可能か？

主な発見

• 分類空間 $B\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ は、無限ループ空間 $\Omega^{\infty-1}\mathsf{MT}_{\Sigma_k}(d)$ とホモトピー型が一致し、非構造的多様体に関するGalatiusらの結果を一般化する。
• $\mathbf{Cob}_d^{\Sigma_k}$ の構成は、Bockstein-Sullivanの完全対を保ち、cobordism群 $\Omega^{\Sigma_k}_*$ の代数的構造を保存する。
• 証明により、制限写像 $r_1$ が局所的に自明なファイバー束であることが示され、分類空間のホモトピー的解析において不可欠である。
• 主な技術的道具は、距離関数とカットオフ関数 $\lambda$ および $\rho$ を用いて定義される滑らかな同倫 $\eta$ であり、これは特異構造を保ちながら埋め込みを変形する。
• 写像 $\bar{\eta}$ は近傍上で連続な切断を提供し、ファイバー束が局所的に自明であることを保証し、分類空間技法の適用を可能にする。
• 結果として、Baas-Sullivan特異点をもつcobordism圏が、関連するThomスペクトルを介して正しいホモトピー論的情報を捉えていることが確認される。