[論文レビュー] Cobordism of singular maps

András Szücs|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異写像のcobordismの分類空間 $X_{\tau}$ のホモトピー型とKazarianのスペクトル系列空間のホモロジーを結ぶKazarianの予想を証明する。特異写像の有する指定された安定的特異型に対する有理cobordism群が、Kazarian空間のホモロジー群と同型であることを確立し、$X_{\tau}$ の繰り返しファイブレーションに基づく構成を提供することで、cobordism群のランクと特異型除去の障害を明示的に計算可能にする。

ABSTRACT

We prove a conjecture due to M. Kazarian, connecting two classifying spaces in singularity theory. These spaces are: - Kazarian's space (generalizing Vassiliev's algebraic complex and) showing which cohomology classes are represented by singularity strata. - Author's space $X_τ$ giving homotopy representation of cobordisms of singular maps with a given list of allowed singularities \cite{R--Sz}. As a consequence we obtain the ranks of cobordism groups of singular maps with a given list of allowed singularities, and also their $p$-torsion parts for big primes $p.$ Further we give complete answer to the problem of elimination of singularities by cobordisms. Obtain very clear homotopical description of the classifying space $X_τ.$ We reveal some connection of the torsion parts of these cobordism groups to the stable homotopy groups of spheres and values of Thom polynomials.

研究の動機と目的

• 特異写像のcobordismの分類空間 $X_{\tau}$ とKazarianのスペクトル系列空間との間のホモトピー同値性を確立すること。
• 固定された安定的特異型のリストを持つ写像の有理および $p$- torsion 部分のcobordism群を計算すること。
• 特異型のcobordismによる除去に対する完全な障害理論を提供すること。
• Pontrjagin-Thom や Conner-Floyd の古典的cobordism定理を特異写像へ一般化すること。
• $X_{\tau}$ を繰り返しファイブレーションとして構成し、浸漬みのcobordism群から特異写像のcobordism群へのスペクトル系列を得ること。

提案手法

• Pontrjagin-Thomの構成を用いて、特異写像のcobordismをフィルトレーションをもつスペクトルのホモトピー群と関連付ける。
• 不安定Kazarian空間 ${\mathcal{K}}^{co}_{\tau}(n)$ を、群作用 $H_n$ を用いたコアライメント付きの $B(SO_n \times SO_{n+k})$ 上のバンドルとして定義する。
• 安定Kazarian空間 ${\mathcal{K}}_{\tau}$ を、$n \to \infty$ の極限として ${\mathcal{K}}^{co}_{\tau}(n)$ の列挙として定義し、各特異型 $\eta \in \tau$ に対して $BG_\eta$ 成分に分解されることを示す。
• $X_{\tau}$（$\tau$-写像のcobordismの分類空間）が、有理ホモロジーにおけるHurewicz型同型を介して ${\mathcal{K}}_{\tau}$ とホモトピー同値であることを証明する。
• $X_{\tau}$ のファイブレーション構造を用いて、浸漬みのcobordism群から出発し、特異写像のcobordism群へ収束するスペクトル系列を導出する。
• 理論をMorin写像（余階1特異型）に適用し、そのcobordism群のランクを明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された安定的特異型のリストを持つ特異写像のcobordism群は、Kazarianのスペクトル系列空間のホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ2 $X_{\tau}$（特異写像のcobordismの分類空間）はファイブレーションとして記述可能であり、そのホモトピー的構造は何か？
• RQ3 cobordismによる特異型の除去に対する完全な障害は何か？
• RQ4 Pontrjagin-Thom や Conner-Floyd の古典的cobordism定理は、特異写像へどの程度一般化可能か？
• RQ5 Morin写像（余階1特異型のみをもつ写像）および一般の $\tau$-写像のcobordism群の明示的ランクは何か？

主な発見

• 指定された安定的特異型を持つ特異写像の有理cobordism群は、対応するKazarian空間 $\mathcal{K}_\tau$ のホモロジー群と同型である。
• $\frac{1}{2} \dim M$ より大きなすべての素数 $p$ に対して、$\tau$-写像のcobordism群の $p$- torsion 部分は $H_*(\mathcal{K}_\tau; \mathbb{Z})$ のそれと一致する。
• すべてのMorin写像（余階1特異型のみをもつ写像）に対して、cobordism群のランクは $\mathcal{K}_\tau$ のベッチ数を用いて明示的に計算可能である。
• $\tau$-写像のcobordismの分類空間 $X_\tau$ は繰り返しファイブレーションとして実現され、浸漬みのcobordism群から特異写像のcobordism群へのスペクトル系列を提供する。
• $X_{\tau}$ のホモトピー型から、特異型のcobordismによる除去に対する完全で計算可能な障害の集合が導出される。
• 安定Kazarian空間 $\mathcal{K}_\tau$ は、各 $\eta \in \tau$ に対して $G_\eta$ の自己同型群の $BG_\eta$ の直和として分解される。