[論文レビュー] Cobordisms of maps with singularities of a given class

Yoshifumi Ando|ArXiv.org|Jul 30, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、相対的h原理を仮定したもとで、閉じたn次元多様体からp次元多様体Pへの滑らかな写像の、特定の類の特異点をもつcobordism類のホモトピー論的分類を確立する。同定された有向cobordism群は、特定のチホム空間構成の安定ホモトピー群と同型であり、既知の折りたたみ写像に関する結果を一般化し、それらを球面の安定ホモトピー群と結びつける。

ABSTRACT

Let P be a connected smooth p-manifold. We describe the group of all cobordism classes of smooth maps of n-manifolds to P with singularities of a given $cal K$-invariant class in terms of certain stable homotopy groups by applying the relative homotopy principle on the existence level. We also deal with the oriented version and construct a classifying space to which this oriented cobordism group is represented as the set of homotopy classes of P in the codimension n

研究の動機と目的

• 特異点の指定されたクラスをもつ滑らかな写像のcobordism類の群を、安定ホモトピー群を用いて記述すること。
• 有向cobordism群の分類を、その分類空間を構成することによって有向の場合に拡張すること。
• h原理の仮定のもとで、cobordism群と安定ホモトピー群の同型を確立すること。
• 既知の折りたたみ写像に関する結果を一般化し、それらを球面の安定ホモトピー群と結びつけること。

提案手法

• 相対的h原理（h-P）を用いて、ジャンルバンドルのセクションと所定の特異点型をもつ実際の滑らかな写像とを関連付ける。
• ジャンルバンドル構成 $ J^k(N,P) $ を適用し、$ \Omega \subset J^k(n,p) $ の開不変部分集合を用いて $ \theta $-正則写像を定義する。
• グラスマンジャンバンドルのチホム空間への写像空間のコロイミットとして、分類空間 $ B_V $ を構成する。
• チホム＝ポンツリャーギン構成と双対写像を用いて、cobordism類と安定ホモトピー群とを関連付ける。
• チホム空間 $ T(\widehat{\gamma}_{G_{n-p+1}}^\ell) \wedge T(\nu_P) $ の安定ホモトピー群を用いて、cobordism群を分類する。
• 既知の結果 [3,4,6] を適用して、特殊な場合（たとえば $ \mathfrak{O}(n,S^n;\Omega^{1,0};0) \cong \pi_n^s $）における同型を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点の指定されたクラスをもつ写像のcobordism群は、どのように安定ホモトピー群の言葉で記述できるか？
• RQ2 このような写像の有向cobordism群の構造は何か？ そして、それがどのように分類空間として実現されるか？
• RQ3 相対的h原理が、すべての形式的セクションが実際に $ \Omega $-正則写像にホモトープであることを示す条件は何か？
• RQ4 特異点クラスの包含が、結果としてのcobordism群に与える影響は何か？ 特に、球面の安定ホモトピー群との関係において。
• RQ5 写像のcobordism類と特異点集合の位相的性質との関係は何か？ 特に $ \pi_n^s $ の非自明な元に関して。

主な発見

• 有向cobordism群 $ \mathfrak{O}(n,P;\Omega,\Omega_\star) $ は、安定ホモトピー群 $ \pi_{n+\ell}^{s}(T(\widehat{\gamma}_{G_{n-p+1}}^\ell) \wedge T(\nu_P)) $ と同型であり、同型は分類空間 $ B_V $ を通じて実現される。
• $ P = S^n $ の場合、次数ゼロの写像の群 $ \mathfrak{O}(n,S^n;\Omega^{1,0};0) $ は、$ n $ 番目の安定ホモトピー群 $ \pi_n^s $ と同型であり、チェスの結果を一般化する。
• 包含写像 $ \Omega^{1,0}(n,n) \to \Omega(n,n) $ は、ホモモーフィズム $ \mathfrak{i}_\Omega: \pi_n^s \to \mathfrak{O}(n,S^n;\Omega) $ を誘導し、非自明な元の台は $ \mathcal{K} $-不変な開部分集合 $ U(a) \subset J^k(n,n) $ に関連している。
• 分類空間 $ B_V $ の構成が、チホム空間への連続写像のコロイミットとして、cobordism群を表現することを示した。
• 同型 $ \mathfrak{O}(n,P;\Omega^{1,0}) \cong [P,F] $ が確立され、ここで $ F $ は序論で定義された空間であり、cobordismと写像空間を結びつける。
• 本稿は、h原理（h-P）が形式的解を実際に $ \Omega $-正則写像として実現できることを証明し、ホモトピー論的分類を可能にする。