[論文レビュー] Cobordism of fold maps, stably framed manifolds and immersions

Boldizsár Kalmár|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、安定フレーム構造と所定の正規束を備えた浸漬け込みを組み合わせることで、ユークリッド空間への折りたたみ写像の完全な幾何的コボルディズム不変量を確立する。偶数余次元の折りたたみ写像およびフレーム付き折りたたみ写像のコボルディズム類は、安定ホモトピー群と浸漬け込みコボルディズム群から導かれる不変量によって完全に分類可能であり、これは初等的な構成と折りたたみ写像のh原理の系を用いて証明される。

ABSTRACT

We give complete geometric invariants of cobordisms of fold maps with oriented singular set and cobordisms of even codimensional fold maps. These invariants are given in terms of cobordisms of stably framed manifolds and cobordisms of immersions with prescribed normal bundles defined by the author in his earlier works.

研究の動機と目的

• 折りたたみ写像のコボルディズム類、特に符号付き特異集合を有するものおよび偶数余次元の折りたたみ写像に対して完全な幾何的不変量を提供すること。
• 特異集合以外の被覆多様体のコボルディズム類を、既知の位相的不変量の観点から捉えること。
• 安定ホモトピー群と浸漬け込みコボルディズム群を用いて、フレーム付き折りたたみ写像および偶数余次元の折りたたみ写像を完全に分類すること。

提案手法

• 本稿は、折りたたみ写像構造によって誘導される標準的フレームを備えた特異集合の浸漬け込みのコボルディズム類を用いて不変量を構成する。
• 安定フレーム多様体のコボルディズム群を主要な構成要素として用い、被覆多様体の位相と折りたたみ写像のコボルディズム類との間の関係を結ぶ。
• 折りたたみ写像のh原理の簡単な系に依拠し、不変量が消える場合にノルムコボルディズムが構成可能であることを可能にする。
• 不変量が十分であることを保証するため、ノルムコボルディズムな多様体上での部分的折りたたみ写像を完全なフレーム付き折りたたみ写像に拡張する相対的h原理を用いる。
• 不変量は、トム空間への写像と安定ホモトピー群、特に $ \pi^{s}_{n-1} $ および $ \pi^{s}_{n-1}(B(O(\lambda) \times O(q+1-\lambda))) $ を通じて定義される。
• 不変量の消えることがノルムコボルディズムの存在を示すことで、構成が検証される。これには、ファイバーごとの全射とフレーム拡張が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号付き特異集合を有する折りたたみ写像のコボルディズム類に対する完全な幾何的不変量は何か？
• RQ2 特異集合以外の被覆多様体のコボルディズム類は、既知の位相的不変量の観点からどのように表現できるか？
• RQ3 安定フレーム多様体と浸漬け込みコボルディズム群を用いて、偶数余次元の折りたたみ写像のコボルディズム群を完全に分類できるか？
• RQ4 過去の研究[16, 17, 18]の不変量が安定フレームコボルディズムと組み合わさって、完全な分類をもたらすか？
• RQ5 不変量が消える場合に、折りたたみ写像のh原理がノルムコボルディズムを構成するのに十分か？

主な発見

• 符号付きコボルディズム群から安定コボルディズム群 $ \mathcal{C}^{O}_{n+q}(n) $ と安定ホモトピー群への写像 $ \Im_{n,q}^{(O)} $ は単射である。
• 偶数余次元 $ q = 2k $ の場合、不変量 $ \Im_{n,2k}^{(O)} $ はコボルディズム群 $ \mathcal{C}ob^{(O)}_{f}(n+2k, -2k) $ を完全に分類する。
• $ q = 0 $ のとき、符号付きコボルディズム群 $ \mathcal{C}ob^{O}_{f}(n,0) $ は $ n $ 番目の球面の安定ホモトピー群 $ \pi^{s}_{n} $ に同型であり、この同型の新たな証明が得られる。
• 不変量 $ \xi_{\lambda,q} $ および $ \sigma_{n,q} $ はノルムコボルディズムを検出するのに十分である：すべてが消えるならば、折りたたみ写像はフレーム付きノルムコボルディズムである。
• 構成により、浸漬け込みおよびフレーム不変量が消えると、相対的h原理を介してフレーム付きノルムコボルディズムの存在が保証される。
• 結果は非符号付きの場合へと拡張され、$ \Im_{n,q} $ が非符号付きコボルディズム類に対しても単射であることが示された。