[論文レビュー] Cocenters of $p$-adic groups, I: Newton decomposition

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進再帰的群におけるニュートン分解を導入し、ヘッケ代数の余中心をニュートン層に一意に分解する。各ニュートン成分に対して、Iwahori-Matsumoto型の生成子を確立し、通常およびねじれた不変分布関数に対して一般化されたハウの予想を証明する。剛性のある余中心の明示的構造が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the Newton decomposition on a connected reductive $p$-adic group $G$. Based on it we give a nice decomposition of the cocenter of its Hecke algebra. Here we consider both the ordinary cocenter associated to the usual conjugation action on $G$ and the twisted cocenter arising from the theory of twisted endoscopy. We give Iwahori-Matsumoto type generators on the Newton components of the cocenter. Based on it, we prove a generalization of Howe's conjecture on the restriction of (both ordinary and twisted) invariant distributions. Finally we give an explicit description of the structure of the rigid cocenter.

研究の動機と目的

• $p$-進再帰的群のヘッケ代数の余中心の構造を理解すること、特に $\mathbb{Z}[p^{-1}]$ 上の整数的形態におけるもの。
• ねじれたエンドスコピーを介して、余中心と表現の間の双対性をねじれた設定へと拡張すること。
• 共役作用およびコンパクト台を持つ性質を両方尊重するように、余中心をニュートン層に分解すること。
• 整数的形態のヘッケ代数を通じて、mod-$l$表現を研究するための枠組みを提供すること。
• 剛性のある余中心とそのニュートン成分による分解の明示的記述を与えること。

提案手法

• $p$-進群 $G$ におけるニュートン分解を、$G = \coprod_{\nu} G(\nu)$ として、各 $G(\nu)$ が開きコンパクト部分集合 $X_\nu$ の $G$-軌道であるように定義する。
• ヘッケ代数 $H$ 及びその余中心 $\bar{H}$ を定義し、ニュートン分解により $H = \bigoplus_\nu H(\nu)$ および $\bar{H} = \bigoplus_\nu \bar{H}(\nu)$ を示す。
• 特に合同部分群 $\mathcal{I}_n$ に対して、Iwahori-Matsumoto型の生成子を用いて各ニュートン成分 $\bar{H}(\nu)$ の元を記述する。
• ねじれた余中心を、$\theta$-ねじれた共役類および $\theta$-不変分布関数を用いて分析し、特に群の剛性部分に注目する。
• 標準的ペア $(\mathcal{P}, \tau)$ を用いて、$\theta$-不変分布関数の空間の有限次元モデルを構成し、パラメータ集合 $A$ 内の式によって関係を定義する。
• 双対写像の核が、$[H_R(\mathcal{P}), H_R(\mathcal{P}\dot{\tau})]_{\theta,\omega}$ および集合 $A$ からの関係によって張られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッケ代数の余中心は、共役作用およびコンパクト台を持つ性質を両方尊重するように、どのように分解可能か？
• RQ2 エンドスコピー転送から生じるねじれた余中心の構造は何か？ そして不変分布関数とどのように関係するか？
• RQ3 Iwahori-Matsumoto型の生成子を用いて、余中心のニュートン成分を記述できるか？
• RQ4 剛性のある余中心はニュートン層にどのように分解され、その双対空間としての不変分布関数の空間は何か？
• RQ5 剛性部分の $\theta$-安定な部分集合に台を持つ $\theta$-不変分布関数の空間の定義関係は何か？

主な発見

• ヘッケ代数の余中心 $\bar{H}$ は、ニュートン点 $\nu$ をインデックスとする一意的な分解 $\bar{H} = \bigoplus_\nu \bar{H}(\nu)$ を持つ。各 $\bar{H}(\nu)$ はニュートン層 $G(\nu)$ に対応する。
• 合同部分群 $\mathcal{I}_n$ に対して、余中心 $\bar{H}(G, \mathcal{I}_n)$ に対しても、$\bar{H}(G, \mathcal{I}_n) = \bigoplus_\nu \bar{H}(G, \mathcal{I}_n; \nu)$ というニュートン分解が存在する。ただし、層は $\mathcal{I}_n$-作用に対して安定ではない。
• 群 $G$ の剛性部分における $\theta$-不変分布関数の空間は、$J(G)_{\text{rig}} = J(G)_{\text{rig}}^0 \oplus J(G)_{\text{rig}}^1$ に分解され、$J(G)_{\text{rig}}^0$ は剛性余中心の $\theta$-不変部分と双対である。
• $\bar{H}_R^{\text{rig}}$ から $J(G)_{\text{rig}}$ への双対写像の核は、$[H_R(\mathcal{P}), H_R(\mathcal{P}\dot{\tau})]_{\theta,\omega} \cap H_R(\mathcal{P}\dot{\tau}, \mathcal{I}_n)$ および有限集合 $A$ からの関係によって張られる。
• $J(G)_{\text{rig}}^0$ の制限写像の像は、$\bigoplus_{(\mathcal{P},\tau)\in\text{StP}_0} H_R(\mathcal{P}\dot{\tau}, \mathcal{I}_n)$ に等しく、これは $\bar{H}_R^{\text{rig}}$ 内の $\bigoplus_{(\mathcal{P},\tau)\in\text{StP}_0} H_R(\mathcal{P}\dot{\tau}, \mathcal{I}_n)$ の像の双対に一致する。
• 一般化されたハウの予想が成立する：$G$ 上の $\theta$-不変分布関数の空間は、剛性余中心の $\theta$-不変部分と双対である。明示的な関係は有限集合 $A$ によって定義される。