[論文レビュー] Cocenters and representations of affine $0$-Hecke algebras

Xuhua He, Sian Nie|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コゼンターやトレース写像を用いて、アフィン0-ヘッケ代数の超特異表現に対する新しい基準を確立する。任意の仮想的モジュールが超特異的であることと、そのキャラクターがコゼンターの非超特異的部分上で消えることは同値であることを証明し、最小長の共役代表元における放物的誘導および巡回シフト類を用いたグローテンディーク群の基底を与える。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the cocenter $\overline{ ilde \ch_0}$ and the finite dimensional representations of an affine $0$-Hecke algebra $ ilde \ch_0$. As a consequence, we obtain a new criterion on the supersingular modules: a (virtual) module of $ ilde \ch_0$ is supersingular if and only if its character vanishes on the non-supersingular part of $\overline{ ilde \ch_0}$.

研究の動機と目的

• 代数閉体上でのアフィン0-ヘッケ代数の有限次元表現の構造を理解すること。
• コゼンターが超特異モジュールの分類に果たす役割を明確化すること。
• トレース写像とコゼンター分解を用いて、超特異モジュールの新しい特徴付けを確立すること。
• 放物的誘導および最小長共役代表元における巡回シフト類を用いて、有限次元表現のグローテンディーク群の基底を構成すること。
• q-ヘッケ代数の場合の結果を0-ヘッケ代数の設定に一般化し、特にモジュラー表現理論の文脈で考察すること。

提案手法

• アフィンワイル群の共役類における最小長代表元からなる $\tilde{W}_{\min}$ に基づき、巡回シフト類 $\Sigma \in \mathrm{Cyc}(\tilde{W}_{\min})$ でインデックスづけられた $\mathbb{Z}$-基底を持つコゼンター $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}$ を考察する。
• 有限次元表現のキャラクターへとコゼンター要素を関連付けるために、写像 $\mathrm{Tr}: \overline{\tilde{\mathcal{H}}_0} \to R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}^*$ を用いる。
• 放物的誘導を用いて、トレース写像の研究をパラホリック部分群に付随する有限0-ヘッケ代数に還元する。
• パラボリック部分代数の単純モジュールからの誘導モジュール $\pi_{F_0,\Gamma,\chi}$ を用いて、グローテンディーク群 $R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}$ の基底を構成する。
• アフィンヘッケ代数 $\tilde{\mathcal{H}}_0$ 上の対合 $\iota$ を用いて、$T_\Sigma$ と ${}^\iota T_\Sigma$ を関連づけ、トレースの消える条件における対称性を実現する。
• 非超特異的部分 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$ は、任意の真のパラホリック部分群に含まれない $\Sigma$ に対して $T_\Sigma$ と ${}^\iota T_\Sigma$ の張る空間として定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン0-ヘッケ代数のコゼンターの構造は何か？ また、どのようにパrametrizeできるか？
• RQ2 コゼンターからグローテンディーク群の双対へのトレース写像が表現の分類にどのように関係するか？
• RQ3 超特異条件は、コゼンターとトレースペアリングのみを用いて特徴付け可能か？
• RQ4 放物的誘導および巡回シフト類は、グローテンディーク群の基底を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 対合 $\iota$ はトレースおよびコゼンターの分解にどのように影響するか？

主な発見

• コゼンター $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}$ は、アフィンワイル群の共役類における最小長代表元からなる $\tilde{W}_{\min}$ に基づく巡回シフト類 $\Sigma \in \mathrm{Cyc}(\tilde{W}_{\min})$ でインデックスづけられた $\mathbb{Z}$-基底を持つ。
• グローテンディーク群 $R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}$ は、パラボリック部分代数の単純モジュールからの誘導モジュール $\pi_{F_0,\Gamma,\chi}$ によって与えられる $\mathbb{Z}$-基底を持つ。
• 新しい基準が確立された：仮想的モジュール $\pi \in R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}$ が超特異的であることと、すべての $h \in \overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$ に対して $\mathrm{Tr}(h, \pi) = 0$ であることは同値である。
• 非超特異的部分 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$ は、任意の真のパラホリック部分群に含まれない $\Sigma$ に対して $T_\Sigma$ と ${}^\iota T_\Sigma$ の張る空間として定義される。
• トレースの消える条件と、標準的な超特異性の定義（$\ell(\tilde{w}) \gg 0$ のとき $E_{\tilde{w}}M = 0$）との同値性が証明され、新たな概念的枠組みが提供される。
• 従来のベルンシュタイン表現やサタケ同型写像を用いた手法とは対照的に、コゼンターとトレース写像を用いた単純超特異モジュールの分類の再導出がなされ、新たな視点が得られる。