[論文レビュー] Codensity and the ultrafilter monad

Tom Leinster|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 33被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、有限集合をすべての集合に含める埋め込みのコドレシティモノイドが、超フィルターのモノイドとして自然に生じることを確立し、有限性とコンパクト性の間の深い圏論的双対性を明らかにする。さらに、有限次元ベクトル空間のコドレシティモノイドが二重双対化であることを示し、コンパクトハウスドルフ空間の線形版である線形コンパクトベクトル空間を導出し、超積が有限集合の族への埋め込みのコドレシティモノイドとして圏論的に避けがたいものであることを証明する。

ABSTRACT

Even a functor without an adjoint induces a monad, namely, its codensity monad; this is subject only to the existence of certain limits. We clarify the sense in which codensity monads act as substitutes for monads induced by adjunctions. We also expand on an undeservedly ignored theorem of Kennison and Gildenhuys: that the codensity monad of the inclusion of (finite sets) into (sets) is the ultrafilter monad. This result is analogous to the correspondence between measures and integrals. So, for example, we can speak of integration against an ultrafilter. Using this language, we show that the codensity monad of the inclusion of (finite-dimensional vector spaces) into (vector spaces) is double dualization. From this it follows that compact Hausdorff spaces have a linear analogue: linearly compact vector spaces. Finally, we show that ultraproducts are categorically inevitable: the codensity monad of the inclusion of (finite families of sets) into (families of sets) is the ultraproduct monad.

研究の動機と目的

• 随伴が存在しない場合でも、コドレシティモノイドが随伴によって誘導されるモノイドの代用としてどのように機能するかを明確にすること。
• 埋め込み FinSet ↪ Set のコドレシティモノイドが超フィルターのモノイドに同型であるというあまり知られていない結果を再確立し、一般化すること。
• 有限次元ベクトル空間の埋め込みのコドレシティモノイドが二重双対化であることを示し、コンパクトハウスドルフ空間の線形版を導出すること。
• 超積が、有限族の集合への埋め込みのコドレシティモノイドとして、圏論的に自然に生じることを示すこと。
• 圏論的双対性を通じて、論理、位相幾何学、関数解析学における既知の構造とこれらの構成を結びつけること。

提案手法

• 関手を自身に沿って右カルタン拡張として定義されるコドレシティモノイド構成を用いる。
• 超フィルターを、有限交叉に関して閉じており、任意の有限分割において、ちょうど一つの部分集合が超フィルターに属するという分割条件を満たす部分集合族として特徴付ける。
• 集合 X 上の統合作用素と X 上の超フィルターの間の一対一対応を確立し、測度に対する統合の概念を一般化する。
• 有限次元ベクトル空間の埋め込みをすべてのベクトル空間に拡張するコドレシティモノイド構成を適用し、それが二重双対化のモノイドを導くことを示す。
• 有限集合族の族への埋め込みのコドレシティモノイドが、超積のモノイドに同型であることを証明する。
• カルタン拡張の普遍性とフィルター付き帰納極限の構造を用いて、𝒞 が小さい極限とフィルター付き極限を持つとき、FinFam(𝒞) → Fam(𝒞) のコドレシティモノイドが超積のモノイドに同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴が存在しない場合、コドレシティモノイドはどのようにして随伴によって誘導されるモノイドの代用として機能するのか？
• RQ2 なぜ埋め込み FinSet ↪ Set のコドレシティモノイドが超フィルターのモノイドに同型であり、これは超フィルターの圏論的起源に何を示唆するのか？
• RQ3 ベクトル空間の文脈において、コンパクトハウスドルフ空間の圏論的双対は何か？そしてそれはどのようにコドレシティモノイドから生じるのか？
• RQ4 超積は圏論的に避けがたいものなのか？有限族の埋め込みからコドレシティモノイドとして導出可能か？
• RQ5 有限族のコドレシティモノイドの代数とコンパクトハウスドルフ空間上の層の間の関係は何か？

主な発見

• 有限集合のすべての集合への埋め込みのコドレシティモノイドは、超フィルターのモノイドに同型であり、超フィルターの圏論的基盤を提供する。
• 有限次元ベクトル空間のすべてのベクトル空間への埋め込みのコドレシティモノイドは、二重双対化のモノイドであり、線形コンパクトベクトル空間がコンパクトハウスドルフ空間の線形版として得られる。
• 有限集合族のすべての族への埋め込みのコドレシティモノイドは、超積のモノイドに同型であり、超積が圏論的に避けがたいものであることを示す。
• 有限集合族のコドレシティモノイドの代数の圏は、コンパクトハウスドルフ空間上の層の圏と同値であり、超積と層論の間に深い関係を確立する。
• コドレシティモノイド構成は、統合作用素を含む普遍性によって超フィルターのモノイドを回復し、測度と積分の対応関係を一般化する。
• この結果は、有限的代数的理論の代数の圏へと拡張可能であり、有限族のコドレシティモノイドは超積構成を導出し、モデル理論における Łoś の定理への潜在的影響を有する。