[論文レビュー] Monads and extensive quantities

Anders Kock|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、双積分類の圏的枠組みを確立し、直積閉圏上の可換モノイドから広義の量（分布）と強度の量（テスト関数）を結びつける。シュワーツ分布を標準的モノイド写像によって一般化する。自然なT-双線形ペアリングと作用を導入し、具体的な分布（T(X)）とテスト関数（T(1)^X）が双対性系を形成することを示し、全質量が1である確率分布が、全質量1の部分モノイドT₀として現れることを示す。

ABSTRACT

If T is a commutative monad on a cartesian closed category, then there exists a natural T-bilinear pairing from T(X) times the space of T(1)-valued functions on X ("integration"), as well as a natural T-bilinear action on T(X) by the space of these functions. These data together make the endofunctors T and "functions into T(1)" into a system of extensive/intensive quantities, in the sense of Lawvere. A natural monad map from T to a certain monad of distributions (in the sense of functional analysis (Schwartz)) arises from this integration.

研究の動機と目的

• 直積閉圏上の可換モノイドを用いて、広義の量（分布）と強度の量（テスト関数）の双対性を形式化すること。
• 関数解析における積分および分布の概念を、モノイド的構造に埋め込むことによって一般化すること。
• シュワーツ型の二重双対化モノイドSへの標準的モノイド写像を構成し、分布を具体的な対象としてモデル化すること。
• 全質量が1である確率分布が、可換モノイドTのアフィン部分モノイドT₀ ⊆ Tとして自然に現れることを特徴づけ、マージナル化および畳み込みにおける安定性を示すこと。
• モノイド乗法とスカラー逆元を用いた圏的基盤により、条件付き確率を導出すること。

提案手法

• 直積閉圏E上の強いモノイドを用い、T(X)が空間X上の分布を表すように、広義の量をモデル化すること。
• モノイドの強さを用いて、T(X) × T(1)^X → T(1) というT-双線形ペアリングを構成し、積分として解釈すること。
• T(X) × T(1)^X → T(X) というT-双線形作用を定義し、テスト関数が分布に作用する様子をモデル化すること。
• T₀(1) = 1 を満たす条件により、可換モノイドTのアフィン部分T₀を同定すること。T₀(X)は全質量1の分布からなる。
• モノイド乗法とスカラー逆元を用い、Pϕ := (P ⊢ ϕ) · λ⁻¹ として条件付き確率を導出する。ここでλ = ∫ϕ dP である。
• 指数的対象X ↠ T(1) を用い、テスト関数をモデル化する。特性関数は可測集合または事象を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 広義の量（分布）を、直積閉圏上の可換モノイドを用いて、どのように体系的にモデル化できるか？
• RQ2 分布（広義）とテスト関数（強度）の間の双対性を裏付ける圏的構造は何か？
• RQ3 Tからシュワーツ型モノイドSへの標準的モノイド写像が、古典的分布理論をどのように一般化するか？
• RQ4 確率分布が可換モノイドTの部分モノイドT₀として自然に現れる意味は何か？全質量1とはどのように関係するか？
• RQ5 モノイド乗法とスカラー逆元を用いた圏的枠組みにより、条件付き確率をどのように導出できるか？

主な発見

• 自然なT-双線形ペアリング T(X) × T(1)^X → T(1) が構成され、積分がモノイド準同型として解釈される。
• T-双線形作用 T(X) × T(1)^X → T(X) が定義され、テスト関数が分布に作用する様子がモデル化される。
• アフィン部分モノイドT₀ ⊆ Tは、T₀(1) = 1 を満たす最大の部分モノイドとして特徴づけられ、確率分布に対応する。
• 包含写像 T₀ ⊆ T はモノイド構造ψと整合的であり、連鎖分布のマージナル分布が元の分布を再構成できることを保証する。
• 条件付き確率は Pϕ := (P ⊢ ϕ) · λ⁻¹ として回復され、ここでλ = ∫ϕ dP である。ϕが特性関数のとき、古典的公式 P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) が得られる。
• この枠組みはシュワーツの原則を一般化し、モノイド的分布が標準的写像を通じて二重双対化モノイドSへと写される事により、物理的分布をモデル化することを示している。