[論文レビュー] Codimension one subgroups and boundaries of hyperbolic groups

Thomas Delzant, Panos Papasoglu|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の次元の境界をもつ双曲的群を構成し、その境界がカントール集合（次元 0）によって分離されているが、いかなる部分群に対しても非自明に分解しないようにしている。これは、Bowditchの2端群に対する分解定理がより複雑な部分群へ一般化できないことを示している。構成法は自由積上のスモールキャンセレーション理論を用い、性質 (T) を持ち高次元境界をもつトーショントラスな双曲的群を、特定の関係式を用いて新しい群に埋め込む。これにより、codimension one の部分群が存在するが、非自明な分解は生じない。

ABSTRACT

We construct hyperbolic groups with the following properties: The boundary of the group has big dimension, it is separated by a Cantor set and the group does not split. This shows that Bowditch's theorem that characterizes splittings of hyperbolic groups over 2-ended groups in terms of the boundary can not be extended to splittings over more complicated subgroups.

研究の動機と目的

• Bowditchの2端群に対する分解定理が、より複雑な部分群へ一般化可能かどうかを検証すること。
• 任意の高次元の位相次元をもつ境界をもつ双曲的群を構成すること。
• そのような群がカントール集合（次元 0）によって分離されているが、いかなる部分群に対しても分解しないこと。
• 双曲的群において、codimension one の部分群が2端群のケースを超えて非自明な分解を示さないことを示すこと。
• [10]における粗い分離と漸近次元に関する疑問に答えること。

提案手法

• 性質 (T) を持ち、dim(∂A) ≥ n である、トーショントラスで1端の双曲的群 A をとる。例として Sp(n,1) における格子を用いる。
• A と同型な第二のコピー B をとり、自由積 A*B を形成する。
• すべての i,j に対して、関係式 r_{i,j} = (a_i b_j)(a_i b_j^2)(a_i b_j^3)(a_i b_j^4) を用いて商群 G を定義する。
• Wiseの自由積上でのスモールキャンセレーションの一般化を用いて、G が自由なcodimension one の部分群 H をもつことを証明する。
• 自由積上のvan-Kampen図形を用い、組合せ論的補題（例：Greendlinger型の不等式）を適用して面積の成長を制御し、線形等周不等式を証明する。
• 図形の面積の上限と頂点の次数の推定を用いて、G が線形等周不等式を満たすことを示し、G が双曲的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的群が高次元の境界をもち、その境界がゼロ次元の集合（カントール集合）によって粗い意味で分離されている場合、非自明な分解が生じないことは可能か？
• RQ2 codimension one の部分群の存在が、2端群のケースを超えて非自明な分解を示すとは限らないか？
• RQ3 Bowditchの境界に基づく分解定理は、2端群より複雑な部分群に対する分解へ一般化可能か？
• RQ4 任意の高次元境界をもつ双曲的群を、性質 FA（非自明な分解なし）を満たすように構成可能か？
• RQ5 漸近次元 1 の均一に埋め込まれた部分集合が、群を粗く分離しているが、いかなる部分群に対しても分解しないような群は存在するか？

主な発見

• 任意の n > 0 に対して、dim(∂G) ≥ n を満たす1端の双曲的群 G が存在する。
• 境界 ∂G はカントール集合（ゼロ次元の集合）によって分離されており、非自明な位相的分離を示している。
• codimension one の部分群が存在し、境界にカントール集合による分離があるにもかかわらず、G は性質 FA をもち、いかなる部分群に対しても分解しない。
• 群 G は、A と B がトーショントラスで性質 (T) をもち、dim(∂A) ≥ n を満たす双曲的群であるとき、A*B のスモールキャンセレーション商として構成される。
• G が線形等周不等式を満たすことを保証する構成により、G が双曲的であることが確認される。
• この例は[10]の問いに答え、有限生成で asdim G > n であり、asdim 1 の均一に埋め込まれた集合によって粗く分離され、非自明な分解のない群の存在を示している。