[論文レビュー] Codimension Two Determinantal Varieties with Isolated Singularities

Miriam da Silva Pereira, María Aparecida Soares Ruas|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、孤立特異点をもつ codimension two の行列式的多様体を研究し、C^4 内のこのような曲面のミルナー数を、第二極小多重度と一般な断面のミルナー数を用いて計算する L\'e-Greuel 公式を導入する。さらに、一般な線形射影から得られる1形式の Ebeling-Gusein-Zade 細胞とこの不変量を結びつけ、単純な行列式的曲面特異点の標準形を計算するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study codimension two determinantal varieties with isolated singularities. These singularities admit a unique smoothing, thus we can define their Milnor number as the middle Betti number of their generic fiber. For surfaces in C^4, we obtain a L\^e-Greuel formula expressing the Milnor number of the surface in terms of the second polar multiplicity and the Milnor number of a generic section. We also relate the Milnor number with Ebeling and Gusein-Zade index of the 1- form given by the differential of a generic linear projection defined on the surface. To illustrate the results, in the last section we compute the Milnor number of some normal forms from A. Fr\uhbis-Kr\uger and A. Neumer [2] list of simple determinantal surface singularities.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ codimension two の行列式的多様体のミルナー数を定義し、計算すること。
• ミルナー数を第二極小多重度や一般な断面のミルナー数といった幾何的不変量で表す L\'e-Greuel 型の公式を確立すること。
• 一般な線形射影によって誘導される1形式の Ebeling-Gusein-Zade 細胞とミルナー数を関連づけること。
• 理論的結果を応用して、単純な行列式的曲面特異点の既知の標準形のミルナー数を計算すること。

提案手法

• 著者たちは、codimension two の行列式的多様体における孤立特異点が一意に滑らかにできるという事実を用い、ミルナー数を一般なファイバーの中央ベッチ数として定義する。
• ミルナー数と第二極小多重度および一般な超平面断面のミルナー数との関係を示す L\'e-Greuel 公式を適用する。
• 一般な線形射影の微分を曲面に制限して得られる1形式の解析を進め、その Ebeling-Gusein-Zade 細胞を計算する。
• 極小多重度や位相的不変量といった特異点論の理論的道具を用いて、主要な公式を導出する。
• Fr\ubar{u}hbis-Kr\ubar{u}ger と Neumer の単純な行列式的曲面特異点の分類から得られる標準形に、このアプローチを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点をもつ codimension two の行列式的曲面のミルナー数は、幾何的不変量を用いてどのように計算できるか？
• RQ2 ミルナー数と第二極小多重度との間の明確な関係は何か？
• RQ3 一般な線形射影の微分から得られる1形式の Ebeling-Gusein-Zade 細胞とミルナー数はどのように関係するか？
• RQ4 理論的公式は、既知の単純な行列式的曲面特異点の標準形のミルナー数を効果的に計算するために適用可能か？

主な発見

• 孤立特異点をもつ codimension two の行列式的曲面のミルナー数は、その特異点が一意に滑らかにできるため、一般なファイバーの中央ベッチ数として定義される。
• 第二極小多重度と一般な断面のミルナー数を用いてミルナー数を表す L\'e-Greuel 公式が確立された。
• ミルナー数が、一般な線形射影の微分によって誘導される1形式の Ebeling-Gusein-Zade 細胞に等しいことが示された。
• 理論的枠組みは、Fr\ubar{u}hbis-Kr\ubar{u}ger と Neumer の単純な行列式的曲面特異点のリストに含まれるいくつかの標準形について、ミルナー数の計算に成功して適用された。