[論文レビュー] Codimension zero laminations are inverse limits

Álvaro Lozano Rojo|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、codimension zero laminations が平坦化条件を満たす分岐多様体の逆極限であることを確立し、等連続な codimension zero laminations がその逆極限構造を通じて横断的計量を保存することを証明している。この研究は、ソリノイドやタイリング空間に関する先行研究を一般化し、力学系および幾何的位相幾何学におけるラミネーションの研究を統一する枠組みを提供する。

ABSTRACT

The aim of the paper is to investigate the relation between inverse limit of branched manifolds and codimension zero laminations. We give necessary and sufficient conditions for such an inverse limit to be a lamination. We also show that codimension zero laminations are inverse limits of branched manifolds. The inverse limit structure allows us to show that equicontinuous codimension zero laminations preserves a distance function on transversals.

研究の動機と目的

• 分岐多様体の逆極限が codimension zero ラミネーションを与える条件を同定すること。
• ソリノイドやタイリング空間に関する先行結果を一般の codimension zero ラミネーションへ拡張すること。
• 等連続な codimension zero ラミネーションがその逆極限表現を通じて横断的計量を有することを示すこと。
• 力学系およびfoliation理論におけるラミネーション、分岐多様体、逆極限の研究を統合すること。

提案手法

• 分岐多様体を、ディスクと木の商空間に局所的に従属させ、$C^r$ な移行写像を持つものとして定義する。
• 分岐多様体の射影的系において「平坦化」写像の概念を導入し、逆極限がラミネーションとなるように保証する。
• 分岐多様体間のセルラーで $C^r$ な写像 $f_k$ を用いて逆極限 $\varprojlim(S_k, f_k)$ を構成する。
• 正規被覆写像とデック変換群 $\Delta_{k,1}$ を用いて、横断的をプロフィニート群としてモデル化する。
• 横断的を $T_1 \cong \varprojlim(\Delta_{k,1}, f_{k,k-1})$ として表現し、プロフィニート群構造を与える。
• 積計量 $d((x_k),(y_k)) = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{2^k} \delta_{\Delta_{k,1}}(x_k,y_k)$ を用いて、左不変距離を横断的上に構成し、$\Delta_{\infty,1}$-作用に関して不変にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐多様体の系の逆極限が codimension zero ラミネーションであるための条件は何か？
• RQ2 任意の codimension zero ラミネーションは分岐多様体の逆極限として実現可能か？
• RQ3 codimension zero ラミネーションの逆極限構造は、横断的計量の存在を示唆するか？
• RQ4 等連続な codimension zero ラミネーションの力学的性質は、その逆極限表現とどのように関係するか？
• RQ5 デック変換群 $\Delta_{\infty,1}$ は、このようなラミネーションの横断的幾何に果たす役割は何か？

主な発見

• 分岐多様体の逆極限が codimension zero ラミネーションであるための必要十分条件は、その系が平坦化であることである。
• 任意の codimension zero ラミネーションは、分岐多様体とセルラー写像の逆極限と位相的に同相である。
• 等連続な codimension zero ラミネーションは、逆極限構造を通じて横断的計量を保存する。
• このようなラミネーションの横断的は、プロフィニート群 $\varprojlim(\Delta_{k,1}, f_{k,k-1})$ と同型であり、標準的な左不変距離を持つ。
• ラミネーションは、横断的上の $\Delta_{\infty,1}$ の自由作用のサスペンションとして得られ、その作用は計量を保存する。
• 逆極限構成により、$\Delta_{\infty,1}$ が横断的の部分群として忠実に表現され、計量の保存が保証される。