[論文レビュー] Cofinitary Groups and Other Almost Disjoint Families of Reals

Bart Kastermans|ArXiv.org|Oct 1, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

この論文は集合論におけるcofinitary群と実数のalmost disjoint族を調査し、さまざまな集合論的仮定の下での最大almost disjoint (MAD)族の存在と性質に焦点を当てる。ZFCにおいて、連続体未満の任意の正則非可算基数の濃度を持つℕの部分集合のMAD族が存在することを確立し、モデルを置換にコーディングするための強制法と再帰的構成技術を用いて、almost disjoint性に関して最大であるcofinitary群の存在を証明する。

ABSTRACT

We study two different types of (maximal) almost disjoint families: very mad families and (maximal) cofinitary groups. For the very mad families we prove the basic existence results. We prove that MA implies there exist many pairwise orthogonal families, and that CH implies that for any very mad family there is one orthogonal to it. Finally we prove that the axiom of constructibility implies that there exists a coanalytic very mad family. Cofinitary groups have a natural action on the natural numbers. We prove that a maximal cofinitary group cannot have infinitely many orbits under this action, but can have any combination of any finite number of finite orbits and any finite (but nonzero) number of infinite orbits. We also prove that there exists a maximal cofinitary group into which each countable group embeds. This gives an example of a maximal cofinitary group that is not a free group. We start the investigation into which groups have cofinitary actions. The main result there is that it is consistent that $\bigoplus_{α\in \aleph_1} \mathbb{Z}_2$ has a cofinitary action. Concerning the complexity of maximal cofinitary groups we prove that they cannot be $K_σ$, but that the axiom of constructibility implies that there exists a coanalytic maximal cofinitary group. We prove that the least cardinality $\mathfrak{a}_g$ of a maximal cofinitary group can consistently be less than the cofinality of the symmetric group. Finally we prove that $\mathfrak{a}_g$ can consistently be bigger than all cardinals in Cichoń's diagram.

研究の動機と目的

• 異なる集合論的公理の下でのℕの部分集合の最大almost disjoint (MAD)族の存在と構造を調査すること。
• 群構造を持つ特別なalmost disjoint族としてのcofinitary群を検討すること。
• さまざまな濃度、特に連続体未満の正則非可算基数におけるMAD族の整合性を特定すること。
• モデルを置換にコーディングする再帰的構成技術を開発し、almost disjoint性とcofinitary性を保つこと。
• almost disjoint性の順序に関して最大であるcofinitary群の存在を確立すること。

提案手法

• Zornの補題を用いてZFCにおいてMAD族の存在を確立し、最大性を保証する追加制約を設ける。
• 強制拡大を適用して、濃度と連続体を保存しつつ、所定の濃度のMAD族を構成する。
• 部分置換 g: ℕ → ℕ の再帰的構成を実施し、g がcofinitary置換（つまり、有限個の巡回を含まない）であり、与えられた族のすべての f に対して f ∩ g が無限大であることを保証する。
• 4段階の構成プロセスを実施：定義域拡張、値域拡張、f の到達、コーディング。各段階は、有限個の例外を除き良好な拡張を保証する補題を用いる。
• 群 G 内の語 w_i を用いたコーディングにより、wellfoundedモデルを置換 g に埋め込み、定義域と値域に制約を設けて衝突を避ける。
• 定義域拡張および値域拡張の補題を用いて、g の拡張がすべての語 w_i に関して良好なまま保たれることを保証する（有限個の選択肢を除く）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続体未満の任意の正則非可算基数の濃度において、ℕの部分集合のMAD族が存在可能であり、そのような族が存在する集合論的仮定は何か？
• RQ2 cofinitary群と実数のalmost disjoint族との関係は何か？ また、このような群がalmost disjoint性の順序に関して最大であるとは限らないか？
• RQ3 再帰的構成をどのように用いて、wellfoundedモデルを置換にコーディングしつつ、cofinitary性とalmost disjoint性を保てるか？
• RQ4 強制法は、連続体未満の任意の正則非可算サイズのMAD族を構成する際、濃度構造をどのように保存するか？
• RQ5 どのような条件下で、置換族がcofinitaryかつalmost disjoint性の順序に関して最大であるとみなせるか？

主な発見

• ZFC + CH のモデルにおいて、任意のCohen拡大に対しても最大のまま保たれるℕの部分集合のMAD族が存在する。
• 濃度と連続体を保存する強制拡大において、任意の正則非可算基数 κ < 2^ℵ₀ に対して、ℕの部分集合のMAD族が濃度 κ で存在する。
• ℕの無限大部分集合の可算族は、最大almost disjointとはなり得ない。これにより、濃度不変量 𝔞 が非可算であることが示される。
• wellfoundedモデルを置換の構造にコーディングする再帰的構成により、almost disjoint性の順序に関して最大であるcofinitary群の存在が確立される。
• 式 φ_G₀(g) ∨ ∃(m,ε)[wellfounded model encoded in g ∧ ∀⟨Eω,r,u⟩ φ(⟨Eω,r,u⟩,g) → r(⌜u∈𝒜⌝,∅̲)=1] が Π¹₁ であることが示され、このような群への属する性質の定義可能性が確認される。
• コーディングプロセスにより、各語 w_i に対して、置換 g がモデルの情報を、almost disjoint性とcofinitary性を保つ形で符号化することが保証される。